建構機率路徑與速度場：條件高斯、仿射流與「直線」的真正意思

前置知識

• B12：FM 的三個步驟、CFM 損失、邊際速度是條件速度的後驗平均、連續方程不唯一決定速度場、flow map 與 Euler 速度 \(\mathbf v_t=\partial_t\bm\Psi_{0\to t}\circ\bm\Psi_{0\to t}^{-1}\)。
• B10：VE、VP 的擾動核，以及哪些 \((\alpha_t,\sigma_t)\) 是合法的 diffusion（SNR 不增）。
• 仿射變換下的高斯：\(\mathbf x\sim\mathcal N(\bm m,\mathbf S)\Rightarrow\mathbf A\mathbf x+\mathbf c\sim\mathcal N(\mathbf A\bm m+\mathbf c,\mathbf A\mathbf S\mathbf A^\top)\)。

「書 §」標出原文位置。灰框「轉述者補充」是書裡沒有的內容；藍框「推導」展開書中省略的步驟。

01兩種建構觀點書 §5.3

Flow matching 的本質是把來源分佈逐漸變成目標分佈。要引導這個轉變，需要兩個元素：機率路徑 \(p_t\)，給出每個時刻分佈的快照；和速度場 \(\mathbf v_t\)，描述個別粒子沿路徑怎麼移動。兩者不是獨立的，由連續方程連在一起，保證粒子的動態和分佈的演化一致。所以學習任務化約成找一個能忠實推動這個過程的速度場 \(\mathbf v_t\)。困難是：對一般複雜的分佈，真正的邊際速度 \(\mathbf v_t\) 是未知的，回歸目標拿不到。

Conditional Flow Matching 的核心想法是造一個人工、但好處理的過程：引入條件變數 \(\mathbf z\)，刻意把條件速度 \(\mathbf v_t(\mathbf x_t\mid\mathbf z)\) 和／或條件路徑 \(p_t(\mathbf x_t\mid\mathbf z)\) 設計得很簡單。因為這些條件物件有封閉形式，它們可以當替代的回歸目標，得到合法的訓練損失 \(\mathcal L_{\text{CFM}}\)，前提是兩個實務要求成立：(i) 能有效率地從 \(p_t(\cdot\mid\mathbf z)\) 抽樣；(ii) 對應的 \(\mathbf v_t(\cdot\mid\mathbf z)\) 有封閉形式。

怎麼設計一個行為良好的條件過程？書從唯一完全理解的情形找靈感：高斯到高斯的橋（第 2 節）。這個例子突顯兩個自然的設計策略：每個時刻都用高斯機率路徑，或指定一個仿射的速度場，兩者都可以解析處理。依此把建構推廣到一般的端點分佈，用兩個互補的觀點（也見書附錄 B 的連續時間極限，B34），它們對應運送的古典 Euler 和 Lagrange 描述：

• 先指定條件機率路徑（Euler 觀點）。先給條件密度路徑 \(p_t(\cdot\mid\mathbf z)\)，再找滿足連續方程的條件速度 \(\mathbf v_t(\cdot\mid\mathbf z)\)。因為密度路徑本身一般不唯一決定速度，這個建構還需要選一個相容的速度場。
• 先指定條件流（Lagrange 觀點）。改成透過條件 flow map \(\bm\Psi_{0\to t}(\cdot\mid\mathbf z)\) 指定個別粒子怎麼走。密度由 pushforward 得到；flow map 可逆時，對應的 Euler 速度場是 \(\mathbf v_t=\partial_t\bm\Psi_{0\to t}\circ\bm\Psi_{0\to t}^{-1}\)。

第 3 節詳談第一種，它和 B12 第 2 節的 diffusion 建構非常相似；第 4 節介紹第二種。兩個觀點合起來提供定義 \(p_t(\mathbf x_t\mid\mathbf z)\) 和 \(\mathbf v_t(\mathbf x_t\mid\mathbf z)\) 的實用框架，讓訓練 simulation-free，也能在任意的來源與目標分佈之間造流。

02關鍵特例：高斯到高斯的橋書 §5.3.1

先看兩端都是高斯的情形，這時可以解析地算出邊際密度 \(p_t(\mathbf x_t)\) 和速度場 \(\mathbf v_t(\mathbf x_t)\)。它會是之後一般條件建構的範本。

當 \(p_{\text{src}}\)、\(p_{\text{tgt}}\) 都是高斯，速度場 \(\mathbf v_t(\cdot)\) 有封閉形式。考慮內插的邊際密度路徑

平均 \(\bm\mu(t)\) 和變異數 \(\sigma^2(t)>0\) 隨時間變化。兩端是 \(p_{\text{src}}=p_0=\mathcal N(\bm\mu(0),\sigma^2(0)\mathbf I)\)、\(p_{\text{tgt}}=p_1=\mathcal N(\bm\mu(1),\sigma^2(1)\mathbf I)\)，所以路徑 \(\{p_t\}\) 連起這兩個分佈。

對這條路徑，其實有很多速度場都能誘導出滿足「\(\mathbf x\sim p_0\Rightarrow\bm\Psi_{0\to t}(\mathbf x)\sim p_t\)」的 ODE 流（B12 的 Demo B 就是一例）。一個特別簡單的實現是

先標準化，再用時間 \(t\) 的平均和標準差還原。書的註腳：Lipman et al. (2022) 用的是 \(\bm\Psi_{0\to t}(\mathbf x)=\bm\mu(t)+\sigma(t)\mathbf x\)，它需要對 \(\bm\mu(t)\)、\(\sigma(t)\) 加限制才能滿足邊界條件；書改用等價、但已經標準化的寫法，避開這些限制。

對這條高斯路徑（每個 \(t\) 都是高斯），誘導出上面那個 ODE 流的速度場被唯一且解析地刻畫如下（Lipman et al. 2022）：

書提醒：對一個固定的 flow map \(\bm\Psi_{0\to t}\)（先指定流的觀點），速度由 \(\mathbf v_t=\partial_t\bm\Psi_{0\to t}\circ\bm\Psi_{0\to t}^{-1}\) 唯一決定，而且 \((p_t,\mathbf v_t)\) 自動滿足連續方程。相反地，只給密度路徑 \(t\mapsto p_t\)、不固定 \(\bm\Psi_{0\to t}\)（先指定路徑的觀點）時，速度場不唯一。這個區別精確地刻畫了兩種觀點的差別。

這個封閉形式在以潛在變數 \(\mathbf z\) 為條件時仍然成立。下面用這個洞見造條件高斯路徑 \(p_t(\cdot\mid\mathbf z)\)，並推出對應的條件速度場 \(\mathbf v_t(\cdot\mid\mathbf z)\)。

03先指定條件機率路徑書 §5.3.2

轉述者注：書的圖和圖說把落在 \(p_{\text{tgt}}\) 的點叫 \(\mathbf x_0\)、落在 \(p_{\text{src}}\) 的點叫 \(\mathbf x_1\)（圖說寫「\(\mathbf x_0\sim p_{\text{tgt}}\)、\(\mathbf x_1\sim p_{\text{src}}\)」），用的是 diffusion 時鐘的標記；正文和本頁都用 FM 慣例 \(\mathbf x_0\sim p_{\text{src}}\)、\(\mathbf x_1\sim p_{\text{tgt}}\)。看圖時只要記得：中格是「以一個資料點為條件」（正文的 \(\mathbf z=\mathbf x_1\)），右格是「以一個來源點為條件」（\(\mathbf z=\mathbf x_0\)）。左格的標記和正文一致。

目標是先造條件密度路徑 \(p_t(\cdot\mid\mathbf z)\)，再（用上面的命題）推出對應的條件速度場 \(\mathbf v_t(\cdot\mid\mathbf z)\)。依 \(\mathbf z\) 的選法有兩種自然的情形：(i) 雙側條件化 \(\mathbf z=(\mathbf x_0,\mathbf x_1)\)；(ii) 單側條件化 \(\mathbf z=\mathbf x_0\) 或 \(\mathbf x_1\)。兩種情形下，建構都必須符合邊界分佈：

具體建構一旦指定，驗證這些限制很直接，所以書不強調驗證步驟。

I. 雙側 \(\mathbf z=(\mathbf x_0,\mathbf x_1)\)：「光束」路徑

選 \(\pi(\mathbf z)\)。考慮 \(\mathbb R^D\) 上一般的 \(p_{\text{src}}\)、\(p_{\text{tgt}}\)。令 \(\mathbf x_0\sim p_{\text{src}}\)、\(\mathbf x_1\sim p_{\text{tgt}}\) 獨立：\(\pi(\mathbf z)=p_{\text{src}}(\mathbf x_0)\,p_{\text{tgt}}(\mathbf x_1)\)。

選條件路徑。用線性內插加上一個固定、很小的變異數 \(\sigma>0\)：

\(a_t\)、\(b_t\) 是時間的函數，滿足 \(a_0=1,b_0=0\)、\(a_1=0,b_1=1\)。Lipman et al. (2022) 和 Liu et al. (2022) 建議的選擇是 \(a_t=1-t\)、\(b_t=t\)。在確定性的情形 \(\sigma=0\)，條件路徑是 \(p_t(\mathbf x_t\mid\mathbf z)=\delta\big(\mathbf x_t-[a_t\mathbf x_0+b_t\mathbf x_1]\big)\)：一條從 \(\mathbf x_0\) 到 \(\mathbf x_1\) 的確定性內插路徑。

書的註腳：也可以保留固定的條件變異數 \(\sigma^2\mathbf I\)。因為變異數不隨時間變，條件速度仍然是 \(a_t'\mathbf x_0+b_t'\mathbf x_1\)；但兩端的邊際會變成 \(p_{\text{src}}\)、\(p_{\text{tgt}}\) 的高斯平滑版本，在 \(\sigma\to0\) 時趨近想要的端點。

推出條件速度。由上面的命題，

CFM 損失。\(\sigma=0\)、\(\mathbf x_t=a_t\mathbf x_0+b_t\mathbf x_1\) 時，CFM 損失化為

由 B12 的邊際速度式和 CFM 定理，最佳速度場是

期望對 \(p(\mathbf x_0,\mathbf x_1\mid\mathbf x_t)\) 取：所有可能產生觀測到的內插點 \(\mathbf x_t=a_t\mathbf x_0+b_t\mathbf x_1\) 的來源–目標配對的條件分佈。（\(\mathbf x_t'\) 是內插點對 \(t\) 的導數。）

II. 單側 \(\mathbf z=\mathbf x_0\) 或 \(\mathbf x_1\)：「聚光燈」路徑

在單側設定下示範這個建構，考慮標準的生成設定 \(p_{\text{src}}=\mathcal N(\mathbf 0,\mathbf I)\)、\(p_{\text{tgt}}=p_{\text{data}}\)。書強調：這個高斯來源不是額外的假設，而是下面定義的條件路徑直接造成的。任意端點的一般處理在第 4 節。

選 \(\pi(\mathbf z)\)。取 \(\mathbf z=\mathbf x_1\)、\(\pi(\mathbf z)=p_{\text{data}}(\mathbf x_1)\)（\(\mathbf z=\mathbf x_0\sim p_{\text{prior}}\) 的情形類似）。

選條件路徑。對固定的 \(\mathbf x_1\sim p_{\text{data}}\)，定義

\(a_0=1,b_0=0,a_1=0,b_1=1\)（通常理解成極限）。在兩端：\(p_0(\cdot\mid\mathbf x_1)=\mathcal N(\cdot;\mathbf 0,\mathbf I)\)、\(p_1(\cdot\mid\mathbf x_1)=\delta(\cdot-\mathbf x_1)\)。對 \(\mathbf x_1\) 取邊際，得到 \(p_0=\mathcal N(\mathbf 0,\mathbf I)\)（和 \(p_{\text{data}}\) 無關）、\(p_1=p_{\text{data}}\)。

推出條件速度。對 \(a_t>0\) 的 \(t\in(0,1)\)，把命題套用到這條條件高斯路徑：

單側 CFM 目標。\(t\sim\mathcal U(0,1)\)（或任何固定的抽樣分佈）、\(\mathbf x_1\sim p_{\text{data}}\)，CFM 損失變成

由 MSE 的最佳性，唯一的最小化解是邊際速度場

和雙側目標等價。對配對的樣本 \((\mathbf x_0,\mathbf x_1)\)，\(\mathbf x_t=a_t\mathbf x_0+b_t\mathbf x_1\)：

所以單側損失回歸的是雙側目標在給定 \(\mathbf x_t\) 下的條件期望：\(\mathbf v^*(\mathbf x,t)=\mathbb E[a_t'\mathbf x_0+b_t'\mathbf x_1\mid\mathbf x_t=\mathbf x]\)，單側和雙側的 CFM 目標有相同的最小化解。

Gaussian FM = Diffusion Model

用 FM 的慣例，\(t=0\) 是來源／先驗、\(t=1\) 是目標／資料：\(p_{\text{src}}=p_{\text{prior}}\)、\(p_{\text{tgt}}=p_{\text{data}}\)。相對地，diffusion model 通常從資料往雜訊編時間（\(t=0\) 是資料、\(t=1\) 是先驗）。主要討論用 FM 的編號；但為了比較，下表的 VE、VP 兩欄保留它們平常的 diffusion 時間編號。

如果再加上 \(p_{\text{src}}=\mathcal N(\mathbf 0,\mathbf I)\)，那麼對固定的條件 \(\mathbf x_1\sim p_{\text{data}}\)，條件路徑 \(p_t(\cdot\mid\mathbf x_1)\) 自然取成高斯，而目標分佈 \(p_{\text{tgt}}\) 本身不必是高斯。這種條件高斯路徑的設定叫 Gaussian FM。diffusion 的機率路徑是這類高斯路徑的一個重要子類。但一般的高斯時程不一定對應一個合法的前向 diffusion SDE：時程還必須滿足 B10 Lemma 的 SDE 相容條件。

選 \(a_t=1-t\)、\(b_t=t\)（在 diffusion model 裡用 \(a_t:=\sigma_t\)、\(b_t:=\alpha_t\) 重新命名，等價於 \(\alpha_t=t\)、\(\sigma_t=1-t\)）就還原了熟悉的 FM/RF 時程（Lipman et al. 2022；Liu et al. 2022）。

在 Gaussian FM 的設定下，光束型和聚光燈型的條件路徑都導出和標準 diffusion 損失相似的訓練目標。第 6 章（B15–B17）會詳細說明：Gaussian FM 其實可以等價地解讀成在線性時程 \(a_t=1-t\)、\(b_t=t\) 下訓練來預測速度的 diffusion model。這個觀點突顯 flow matching 和 diffusion 沒有根本的不同，而是可以互相轉換的兩種等價寫法。Gaussian FM 的目標在實務上特別吸引人：損失 \(\mathbb E_{t,\mathbf x_t}\big[\Vert\mathbf v_{\bm\phi}(\mathbf x_t,t)-(\mathbf x_1-\mathbf x_0)\Vert_2^2\big]\) 很簡單，而且已被證明在大規模下有競爭力（Esser et al. 2024）。

Demo A同一組端點，兩種時程轉述者補充

來源 \(\mathcal N(0,1)\)、目標是 B08–B12 的 \(0.6\,\mathcal N(1.2,0.25^2)+0.4\,\mathcal N(-1,0.2^2)\)，獨立配對。比較表裡的 FM/RF（\(a_t=1-t\)、\(b_t=t\)）和三角函數（\(a_t=\cos\frac{\pi t}2\)、\(b_t=\sin\frac{\pi t}2\)）兩種時程。這個例子的邊際速度 \(v^*(x,t)=\mathbb E[a_t'x_0+b_t'x_1\mid x_t=x]\) 可以精確算出（和 B12 Demo A 同樣的聯合高斯公式）。上圖是 \(p_t\)（深淺）和 16 條精確的邊際 ODE 軌跡；下圖是用 \(N\) 步 Euler 解這條 ODE 得到的 2,000 個樣本。

上圖的深淺在每個 \(t\) 各自正規化，只看形狀。FM/RF 時程下，分佈先往中間收窄（\(t=\tfrac12\) 時變異數是 \(\tfrac14+\tfrac14\operatorname{Var}(x_1)\approx0.55\)），藍色軌跡在 \(t\approx0.5\) 之後分成兩束；三角函數時程滿足 \(a_t^2+b_t^2=1\)，變異數一路保持在 1 附近，軌跡一直張開，到 \(t\approx0.65\) 之後才分開。瀏覽器實測，和精確 ODE 終點（RK4 200 步）的平均距離：

三件事值得注意。(1) FM/RF 的 \(N=1\)：2,000 個樣本全部落在 \(0.320=\mathbb E[x_1]\)（讀數的「上團 100%」只是因為 0.32 > 0），正是第 6 節補充框說的塌縮。三角函數的 \(N=1\) 則是把整個 \(\mathcal N(0,1)\) 平移 \(\tfrac\pi2\cdot0.32\)，平均 0.494，也沒有分成兩團。(2) 步數加倍，誤差大約減半，這是 Euler 法的一階收斂；在這個例子裡，三角函數時程的誤差在每個 \(N\) 都大約是 FM/RF 的一半。這只是這個例子的觀察，不是一般結論；哪種時程比較好積分，第 9 章（B24–B27）會從 solver 的角度再談。(3) 讀數最後一行：兩種時程的精確終點最大只差 \(7\times10^{-7}\)（RK4 的數值誤差）。這是一維的特性：ODE 的軌跡不會交叉，所以從 \(\mathcal N(0,1)\) 到 \(p_{\text{data}}\) 的終點映射必定是保序的那一個（分位數對分位數），時程只改變中間怎麼走。高維時沒有這個限制，不同的時程一般會給出不同的配對。

04先指定條件流書 §5.3.3

這一節處理一般情形：端點 \(p_{\text{src}}\)（在 \(t=0\)）和 \(p_{\text{tgt}}\)（在 \(t=1\)）是任意的。目標是直接在軌跡空間設計一個條件流，把樣本從 \(p_{\text{src}}\) 運到 \(p_{\text{tgt}}\)，並得到可以當回歸目標的封閉形式 \(\mathbf v_t(\mathbf x_t\mid\mathbf z)\)。

動機。不先設計條件密度路徑，而是直接指定一個沿軌跡移動樣本的條件 flow map \(\bm\Psi_{0\to t}(\cdot;\mathbf z)\)。這有兩個實務好處：(i) 沿軌跡對時間微分，立刻得到訓練用的回歸目標；(ii) 在有幾何結構的空間上（Riemann 流形、Lie 群、受限的子流形），直接從幾何造條件 flow map 往往很自然（例如測地線、指數映射或 premetric；Lipman et al. 2024），能得到解析、simulation-free 的目標速度。

條件仿射流（連到第 2 節的命題）

固定一個條件變數 \(\mathbf z\sim\pi\)（例如單側「聚光燈」訓練裡的 \(\mathbf z=\mathbf x_1\sim p_{\text{tgt}}\)），把 \(\mathbf x_0\sim p_{\text{src}}\) 透過隨時間變化的條件仿射流 pushforward：

\(\bm\mu_t(\mathbf z)\in\mathbb R^D\)，\(\mathbf A_t(\mathbf z)\in\mathbb R^{D\times D}\) 在 \(t\in(0,1)\) 可逆。邊界 \(\mathbf A_0(\mathbf z)=\mathbf I\)、\(\bm\mu_0(\mathbf z)=\mathbf 0\) 在 \(t=0\) 還原 \(p_{\text{src}}\)。\(t\to1\) 的邊界習慣上理解成極限：終端映射可能把質量集中到一個低維的集合或一個點上。（書的註腳：允許 \(\mathbf A_1(\mathbf z)\) 奇異，例如 \(\mathbf 0\)，和在 \((0,1)\) 上可逆並不衝突，它讓路徑在 \(t=1\) 收縮到指定的端點。）

誘導出的條件路徑。這個建構定義了

在 \(\mathcal L_{\text{CFM}}\) 裡真正要緊的是怎麼抽樣：先抽 \(\mathbf z\sim\pi\)，再抽 \(\mathbf x_0\sim p_{\text{src}}\)，最後令 \(\mathbf x_t=\bm\mu_t(\mathbf z)+\mathbf A_t(\mathbf z)\mathbf x_0\)。

書提醒：當 \(\bm\Psi_{0\to t}\) 對 \(\mathbf x_0\) 是仿射的，\(p_t(\cdot\mid\mathbf z)\) 是高斯若且唯若 \(p_{\text{src}}\) 是高斯。特別是，對任意（非高斯）的 \(p_{\text{src}}\)，仿射流一般給出非高斯的 \(p_t(\cdot\mid\mathbf z)\)。

推出條件速度。條件速度 \(\mathbf v_t(\cdot\mid\mathbf z)\) 由對條件 flow map 的 \(t\) 微分得到。仿照第 2 節命題的推導，考慮以 \(\mathbf y\) 為初始條件、由 \(\bm\Psi_{0\to t}(\mathbf y;\mathbf z)\) 定義的條件 ODE，目標是找出對應的條件速度場：

因為 \(\bm\Psi_{0\to t}(\cdot;\mathbf z)\) 在 \(t\in(0,1)\) 可逆，可以把到達目前狀態 \(\mathbf x\) 的起點寫成 \(\mathbf y=\bm\Psi_{0\to t}^{-1}(\mathbf x;\mathbf z)=\bm\Psi_{t\to0}(\mathbf x;\mathbf z)\)。所以對應的 Euler 速度場是

也就是：先固定起點 \(\mathbf y\)、對前向 flow map 的 \(t\) 微分，再代入「軌跡在時間 \(t\) 到達 \(\mathbf x\)」的那個起點。因為 \(\mathbf x_t=\bm\mu_t(\mathbf z)+\mathbf A_t(\mathbf z)\mathbf x_0\) 且 \(\mathbf A_t(\mathbf z)\) 在 \((0,1)\) 可逆，\(\mathbf x_0=\mathbf A_t(\mathbf z)^{-1}(\mathbf x-\bm\mu_t(\mathbf z))\)，得到

單側條件化（\(\mathbf z=\mathbf x_1\)）。選 \(\bm\mu_t(\mathbf z)=b_t\mathbf z\)、\(\mathbf A_t(\mathbf z)=a_t\mathbf I\)，\(a_0=1,a_1=0\)、\(b_0=0,b_1=1\)（\(t\in(0,1)\) 時 \(a_t>0\)），得到

在配對的樣本 \((\mathbf x_0,\mathbf x_1)\) 上（\(\mathbf x_t=a_t\mathbf x_0+b_t\mathbf x_1\)），化簡成常用的 CFM 目標 \(\mathbf v_t(\mathbf x_t\mid\mathbf x_1)=a_t'\mathbf x_0+b_t'\mathbf x_1\)。和第 3 節的聚光燈路徑一模一樣，但這次 \(p_{\text{src}}\) 不必是高斯。

雙側條件化（\(\mathbf z=(\mathbf x_0,\mathbf x_1)\)）。同一個模板，取 \(\bm\mu_t(\mathbf x_0,\mathbf x_1)=b_t\mathbf x_1\)、\(\mathbf A_t(\mathbf x_0,\mathbf x_1)=a_t\mathbf I\)，條件路徑變成確定性的：

條件速度是 \(\mathbf v_t(\mathbf x_t\mid\mathbf x_0,\mathbf x_1)=a_t'\mathbf x_0+b_t'\mathbf x_1\)，也就是標準的雙側 CFM 目標。

無條件的高斯路徑是特例。若 \(\bm\mu_t\) 不依賴 \(\mathbf z\)（記作 \(\bm\mu(t)\)），且 \(\mathbf A_t=\tfrac{\sigma(t)}{\sigma(0)}\mathbf I\)，則

還原了第 2 節的高斯密度路徑和封閉形式速度。

05先指定路徑 vs. 先指定流書 §5.3.4

兩種建構對應運送的互補描述。先指定機率路徑（Euler）的觀點先給條件密度路徑 \(p_t(\cdot\mid\mathbf z)\)，再透過連續方程選一個相容的速度場；因為密度路徑本身一般不唯一決定速度，可能需要額外的運送結構來選定。先指定流（Lagrange）的觀點則指定條件 flow map \(\bm\Psi_{0\to t}(\cdot\mid\mathbf z)\)，直接描述粒子軌跡；對應的密度路徑由 pushforward 得到，映射可逆時，Euler 速度由 \(\mathbf v_t=\partial_t\bm\Psi_{0\to t}\circ\bm\Psi_{0\to t}^{-1}\) 唯一還原。所以兩種建構從不同起點描述同一類運送物件，但一條指定的密度路徑，選出的速度不一定和另外指定的 flow map 相同。

書的結論：條件路徑有封閉形式的速度時，先指定路徑比較自然；對軌跡有很強的結構先驗時，先指定流比較自然。下表整理兩者的對比。

06條件路徑直，不代表邊際軌跡直書 §5.3.5

典型的仿射插值 \(\mathbf x_t=(1-t)\mathbf x_0+t\mathbf x_1\) 有一個吸引人的幾何性質：以一對特定的端點 \((\mathbf x_0,\mathbf x_1)\) 為條件，插值是一條以常數速度 \(\mathbf x_1-\mathbf x_0\) 前進的直線。這種條件意義下的「直」在 Flow Matching 和 Rectified Flow 裡被大量使用。

但重要的是區分這些條件插值路徑的直，和生成時使用的邊際 ODE 軌跡的直。在耦合 \(\pi(\mathbf x_0,\mathbf x_1)\) 下，母體最佳的邊際速度是

端點配對的後驗一般隨 \((\mathbf x,t)\) 改變。所以沿著一條邊際 ODE 軌跡遇到的速度不必保持常數，即使訓練用的每條條件插值都是直線。

因此，單單選了典型的仿射時程，並不代表學到的邊際 ODE 恰好是直的，也不代表一步 Euler 就是精確的。Rectified Flow 正是針對這個區別：它的 rectification（或 Reflow）程序改變端點的耦合，讓誘導出的因果流逐步接近直的流（Liu et al. 2022）；B14 會詳談。下面的例子把這個區別說清楚。

Demo B直線條件路徑，彎曲的邊際軌跡轉述者補充

書中例子的互動版。灰色細線是抽樣的條件路徑 \((1-t)x_0+tx_1\)；彩色實線是精確的邊際 ODE 軌跡 \(z_0\sqrt{V(t)/V(0)}\)；虛線是同一對端點之間的直線。藍色的點是用 \(N\) 步 Euler 解邊際 ODE 時經過的位置。

預設 \(\sigma_0=2\)、\(\sigma_1=3\)（書的圖）：在 \(t=\tfrac12\)，ODE 軌跡在 \(0.901\,z_0\)，直線插值在 \(1.250\,z_0\)。軌跡先往 0 收縮，再張開到 \(1.5\,z_0\)。Euler 法生成的標準差（真值 3）：\(N=1\) 是 0、\(N=2\) 是 1.385、\(N=4\) 是 2.121、\(N=8\) 是 2.531、\(N=16\) 是 2.757、\(N=64\) 是 2.937，永遠偏小。原因是 Euler 用每一步開頭的速度往前走，而在 \(t\) 小時速度把粒子往中心拉；把 \(\sigma_1\) 調到等於 \(\sigma_0\)（端點完全相同、直線插值是靜止不動），\(N=2\) 時 \(z_0\) 只被乘上 0.500（標準差只剩一半），\(N=64\) 也只有 0.980 倍。所以「每條訓練路徑都是直線」換不到「少步數就準」，除非邊際軌跡本身變直（B14 的 Reflow）。

與 CS236 的對照

常見誤解

自我測驗