Flow Matching：不解 ODE，直接用回歸學速度場

前置知識

• B11：neural ODE、它的最大概似訓練為什麼貴、本章翻轉的時間方向。
• B09：Fokker–Planck 方程、PF-ODE 的速度場、flow map 與 pushforward、同一個邊際有多種條件分佈。
• B06：DSM 與「條件 score 的後驗平均就是邊際 score」；B10：從 \(\alpha_t,\sigma_t\) 推出 \(f,g\) 的 Lemma。
• 連續方程：CS236 補充課 C；書的附錄 B（B34）。

「書 §」標出原文位置。灰框「轉述者補充」是書裡沒有的內容；藍框「推導」展開書中省略的步驟或附錄 D 的證明。書把 §5.2.4 標為選讀。

01Flow Matching 要解決什麼書 §5.2

Score SDE（第 4 章）和 neural ODE（B11）都把生成建模描述成一個連續的運送過程。Score SDE 透過隨機動態和對應的 PF-ODE 來寫這個運送，neural ODE 則直接參數化一條確定性的 ODE。在標準的生成設定裡，兩者都想把簡單的高斯先驗 \(p_{\text{prior}}\) 運送成資料分佈 \(p_{\text{data}}\)。

neural ODE 的一個實務限制是：基於概似的訓練需要反覆解 ODE。Flow Matching（FM；Lipman et al. 2022、2024；Tong et al.）避開這個代價：用一個回歸目標訓練神經網路直接預測速度場。所以只有生成時需要積分 ODE，訓練迴圈裡不需要，FM 的訓練是 simulation-free 的。

更一般地，FM 不限於「高斯到資料」的運送。它考慮一個來源分佈 \(p_{\text{src}}\) 和一個目標分佈 \(p_{\text{tgt}}\)，兩者都假設容易取樣。標準的生成建模是特例

\(p_{\text{prior}}\) 通常是高斯。

這一節採用 FM 的觀點。書的註腳：幾個相關的方法共享「用連續時間的流在兩端分佈之間運送」這個核心想法，只是寫法略有不同，包括 Flow Matching（Lipman et al. 2022；Neklyudov et al. 2023）、Rectified Flow（Liu et al. 2022；Heitz et al. 2023）和 Stochastic Interpolants（Albergo et al. 2023；Ma et al. 2024）；書用 FM 當統稱。FM 的目標是學一個隨時間變化的速度場 \(\mathbf v_t(\mathbf x_t)\)，讓它對應的 ODE 沿著一條指定的機率路徑 \(\{p_t\}_{t\in[0,1]}\) 運送樣本，滿足

當 \(p_{\text{src}}\) 是高斯時，叫做 Gaussian Flow Matching。所以 FM 既是生成建模的 simulation-free 訓練方法，也是學習任意兩端分佈之間連續運送的一般框架。

02從 score-based 方法學到的事書 §5.2.1

用一個稍微不同但等價的寫法回顧 Score SDE（第 4 章），抽出啟發 FM 的關鍵洞見。這個分析揭露 diffusion model 怎麼隱含地學習機率流，並引出一個更直接的寫法。（這一節用 diffusion 時鐘：\(t=0\) 是資料。）

步驟 1：定義條件路徑與它的邊際密度

diffusion model 指定一族連續時間的密度 \(\{p_t\}_{t\in[0,1]}\)，把 \(t=1\) 的簡單先驗 \(p_{\text{prior}}\)（例如高斯，當作來源）運送到 \(t=0\) 的目標資料分佈 \(p_{\text{data}}\)：\(p_1(\mathbf x_1)=p_{\text{prior}}(\mathbf x_1)\)、\(p_0(\mathbf x_0)=p_{\text{data}}(\mathbf x_0)\)。這條路徑透過前向條件分佈隱含地定義

它誘導出邊際密度 \(p_t(\mathbf x_t):=\int p_t(\mathbf x_t\mid\mathbf x_0)\,p_{\text{data}}(\mathbf x_0)\,d\mathbf x_0\)。條件高斯的變異數 \(\sigma_t^2\) 不斷增加，推動 \(p_t\) 往高斯先驗演化。

步驟 2：速度場

邊際密度 \(p_t\) 的時間演化由一個速度場 \(\mathbf v_t:\mathbb R^D\to\mathbb R^D\) 支配，它由 Fokker–Planck 方程推出（B09）：

它透過 PF-ODE 定義一個確定性的粒子流：

這條 ODE 把起始的 \(\mathbf x(0)\sim p_{\text{data}}\) 往前運送，或把 \(\mathbf x(1)\sim p_{\text{prior}}\) 往回運送，讓 \(\mathbf x(t)\) 的演化邊際在每個 \(t\in[0,1]\) 都和 \(p_t\) 相符（見下面的「背後的規則」）。純量函數 \(f(t)\)、\(g(t)\) 由對應的前向 SDE 的係數決定，或等價地由條件路徑裡高斯核的參數 \(\alpha_t\)、\(\sigma_t\) 決定（B10 的 Lemma）。

步驟 3：透過條件化策略學習

PF-ODE 的速度依賴邊際 score \(\nabla_{\mathbf x_t}\log p_t(\mathbf x_t)\)，它一般是未知的。所以 score-based 方法用神經網路 \(\mathbf s_{\bm\phi}(\mathbf x_t,t)\)，透過理想的 score matching 目標學它：

學到 score 之後，PF-ODE 的速度就由它得到：\(\mathbf v_t(\mathbf x_t)=f(t)\mathbf x_t-\tfrac12g^2(t)\nabla_{\mathbf x_t}\log p_t(\mathbf x_t)\)，其中 \(\mathbf s_{\bm\phi^\times}(\mathbf x,t)\approx\nabla_{\mathbf x}\log p_t(\mathbf x)\)。

困難在於：計算回歸目標時，邊際 score 本身拿不到。和第 3 章一樣，用條件化技巧克服它。條件分佈 \(p_t(\mathbf x_t\mid\mathbf x_0)\) 好處理，而它的條件 score 滿足（B06）

這啟發了 denoising score matching 目標

如 B06 的定理，\(\mathcal L_{\text{SM}}\) 和 \(\mathcal L_{\text{DSM}}\) 只差一個和 \(\bm\phi\) 無關的常數，所以有相同的母體最佳解 \(\mathbf s^*(\mathbf x_t,t)=\mathbb E_{\mathbf x_0\sim p(\cdot\mid\mathbf x_t)}[\nabla_{\mathbf x_t}\log p_t(\mathbf x_t\mid\mathbf x_0)]=\nabla_{\mathbf x_t}\log p_t(\mathbf x_t)\)。

重要的是，同一個條件化原則也可以直接寫在 PF-ODE 速度的層級。定義條件速度

用上面的條件 score 恆等式，立刻得到

所以 score-based diffusion 透過好處理的條件目標學 score，再用它建構 PF-ODE 的速度。Flow Matching 會把同一個「條件 → 邊際」的原則直接套用在速度場上。

轉述者注：圖 (2)、(4) 的箭頭畫成從 \(\mathbf x_t\) 指向資料那一側，也就是生成時沿時間倒著走的方向。在這一節的 diffusion 時鐘裡，PF-ODE 往前（\(t\) 增加）的速度其實是遠離資料；看圖時把箭頭理解成「\(-\mathbf v_t\)」的方向即可，平均的道理完全相同。

背後的規則：Fokker–Planck 方程

邊際密度 \(p_t\) 依 Fokker–Planck 方程演化：

這條偏微分方程保證 PF-ODE 給出的密度和前向 SDE 的邊際相符。為了看出這點，回想 PF-ODE 的 flow map \(\bm\Psi_{s\to t}(\mathbf x_s)\)（B09），它把時間 \(s\) 的初始狀態 \(\mathbf x_s\) 直接帶到它在 \(t\) 的狀態。把 PF-ODE 從 \(t=1\) 倒著跑到 \(t=0\)、以 \(\mathbf x_1\sim p_{\text{prior}}\) 起始，透過 pushforward 公式得到隨時間變化的密度：

Fokker–Planck 方程保證誘導出的密度路徑就是同一條演化中的密度：\(p_t^{\text{rev}}=p_t\)。特別是 \(p_0^{\text{rev}}=p_0=p_{\text{data}}\)，在 \(t=0\) 還原了資料分佈。因為 ODE 的解映射是雙向的，也可以從 \(\mathbf x_0\sim p_{\text{data}}\) 出發、往前解 ODE，做平行的分析。

03Flow Matching 框架書 §5.2.2

第 2 節的分析揭露：diffusion model 之所以成功，是因為它在滿足邊界條件的同時，學了一個在分佈之間運送的速度場（具體地說是 score）。第 2 節的高斯條件路徑設計（變異數 \(\sigma_t^2\) 遞增）隱含地把一端錨定在高斯先驗，同時讓條件密度定義在整個空間上，使得 score 的梯度計算可行。

這一節介紹建立在這個洞見上的 FM 框架（上面那張四格圖同樣適用於 FM），並把它推廣到在兩個任意分佈 \(p_{\text{src}}\) 和 \(p_{\text{tgt}}\) 之間學習連續的流。

步驟 1：定義條件路徑與它的邊際密度

考慮 \(\mathbb R^D\) 上任意的來源與目標機率分佈 \(p_{\text{src}}\)、\(p_{\text{tgt}}\)。令（書的註腳：為了和 FM 文獻的標準記號一致，時間軸相對於前面的章節反過來，\(t=0\) 對應來源、\(t=1\) 對應目標）

FM 隱含地定義一族在兩端之間內插的中間密度 \(\{p_t\}_{t\in[0,1]}\)。每個邊際 \(p_t\) 都透過一個從已知分佈 \(\pi(\mathbf z)\) 抽出的潛在變數 \(\mathbf z\) 和一個條件分佈 \(p_t(\mathbf x_t\mid\mathbf z)\) 來表示：

\((\pi(\mathbf z),\{p_t(\cdot\mid\mathbf z)\})\) 的選擇要滿足上面的邊界條件。書提醒：一般而言邊際密度 \(p_t\) 算不出來，因為要對 \(\pi(\mathbf z)\) 積分，而 \(\pi(\mathbf z)\) 和條件分佈 \(p_t(\mathbf x_t\mid\mathbf z)\) 都可能很複雜。儘管如此，以潛在變數 \(\mathbf z\) 為條件，讓 FM 能建模比第 2 節更廣泛的一類內插路徑。\(\mathbf z\) 的常見選擇有：

• 雙側條件化：\(\mathbf z=(\mathbf x_0,\mathbf x_1)\sim p_{\text{src}}(\mathbf x_0)\,p_{\text{tgt}}(\mathbf x_1)\)，\(\pi\) 把來源和目標分佈耦合起來。這讓 FM 能定義任意分佈之間的運送。
• 單側條件化：\(\mathbf z=\mathbf x_0\) 或 \(\mathbf z=\mathbf x_1\)。來源分佈取成高斯時，特別會還原出類似 diffusion 的設定。

在所有情況下，條件路徑 \(p_t(\mathbf x_t\mid\mathbf z)\) 都應該能有效率地取樣，對應的條件速度也要好處理。在下一頁「先指定機率路徑」的建構裡，還會進一步使用有封閉形式的條件分佈。具體的建構在 §5.3（B13）。

步驟 2：速度場

機率路徑 \(\{p_t\}_{t\in[0,1]}\) 規定了分佈該怎麼隨時間演化，但一般並沒有規定個別樣本該怎麼移動。換句話說，同一串邊際密度可以由不同的速度場實現。

書的註腳：關鍵的區別是，機率路徑規定的是分佈的演化，一般不規定實現它的粒子層級的運送。只有再加上額外的運送結構，速度才會被決定。例如，一個夠正則、可逆的 flow map \(\bm\Psi_{0\to t}\) 透過 \(\mathbf v_t=\partial_t\bm\Psi_{0\to t}\circ\bm\Psi_{0\to t}^{-1}\) 決定它的 Euler 速度；同樣地，一旦指定了前向 diffusion SDE，它的 PF-ODE 就選出特定的速度 \(\mathbf v_t(\mathbf x)=f(t)\mathbf x-\tfrac12g^2(t)\nabla_{\mathbf x}\log p_t(\mathbf x)\)。兩種情況都在邊際路徑 \(\{p_t\}\) 本身之外，加上了粒子層級的運送結構。

所以 FM 的目標是找一個速度場 \(\mathbf v_t(\mathbf x)\)，讓它誘導的 ODE

在每個時間 \(t\) 產生的邊際分佈都和指定的 \(p_t\) 相符。成立時，這條 ODE 可以把樣本從 \(\mathbf x(0)\sim p_{\text{src}}\) 往前運送到 \(p_{\text{tgt}}\)，或從 \(\mathbf x(1)\sim p_{\text{tgt}}\) 倒著運送到 \(p_{\text{src}}\)（更正式的討論在第 5 節）。這個要求由連續方程表達（書的註腳：它是 Fokker–Planck 方程沒有擴散項的確定性類比）：

任何滿足連續方程的速度場 \(\mathbf v_t\)，配上初始條件 \(p_0=p_{\text{src}}\)，都會生成一條邊際依指定路徑 \(\{p_t\}\) 演化的 ODE（在適當的正則性條件下）。所以解 ODE 就提供了 \(p_{\text{src}}\) 和 \(p_{\text{tgt}}\) 之間逐樣本的運送，同時匹配中間的分佈。

重要的是，連續方程約束了機率密度的演化，但一般不唯一決定速度場。不同的樣本軌跡可以產生完全相同的邊際密度演化。例如，在 \(p_t>0\) 的區域，若 \(\mathbf v_t\) 滿足連續方程，則對任何夠正則、散度為零（\(\nabla\cdot\tilde{\mathbf v}_t=0\)）的場 \(\tilde{\mathbf v}_t\)，

也滿足它。

因此 FM 要找的是某一個能實現指定機率路徑的速度場。對一般的來源與目標分佈，邊際密度 \(p_t\) 和這樣的速度場通常都沒有封閉形式。這引出接下來的條件化建構：用好處理的條件路徑和條件速度，學一個合法的邊際速度場。書在 §5.3.1（B13）考慮一個高斯到高斯的路徑配上特定的仿射 flow map，那時對應的速度場可以顯式算出。

步驟 3：透過條件化策略學習

選定機率路徑和對應的邊際速度場 \(\mathbf v_t\) 之後，FM 用神經網路 \(\mathbf v_{\bm\phi}\) 直接學這個速度場。理想的 FM 目標是

這種參數化叫做 \(\mathbf v\)-prediction（速度預測），因為網路直接預測 ODE 的漂移。這和第 2 節的 score-based 建構不同，那裡先學 score，再用它建構 PF-ODE 的速度。

困難在於邊際速度 \(\mathbf v_t(\mathbf x_t)\) 一般算不出來。和 denoising score matching 一樣，用條件化策略克服：引入潛在變數 \(\mathbf z\sim\pi(\mathbf z)\)，建構好處理的條件機率路徑 \(p_t(\mathbf x_t\mid\mathbf z)\) 和對應的條件速度場 \(\mathbf v_t(\mathbf x_t\mid\mathbf z)\)。如果每個條件速度場都生成它對應的條件機率路徑，那麼對 \(\mathbf z\) 取邊際就得到一個合法的邊際速度場：

也就是說，一般算不出來的邊際速度，是好處理的條件速度的條件平均。這直接類比第 2 節的條件 score 恆等式。這個觀察導出條件流匹配（conditional flow matching，CFM）目標：

這裡 \(\mathbf z\) 用來建構訓練樣本 \(\mathbf x_t\) 和條件回歸目標 \(\mathbf v_t(\mathbf x_t\mid\mathbf z)\)，它不是神經網路 \(\mathbf v_{\bm\phi}(\mathbf x_t,t)\) 的額外輸入。重要的是，兩個目標只差一個和 \(\bm\phi\) 無關的常數 \(C\le0\)：

所以兩者有相同的母體最佳解 \(\mathbf v^*(\mathbf x_t,t)=\mathbf v_t(\mathbf x_t)\)。換句話說，雖然每個訓練樣本都用條件速度 \(\mathbf v_t(\mathbf x_t\mid\mathbf z)\) 當目標，對這些樣本平均就還原了想要的邊際速度場。

要讓 CFM 提供好處理、simulation-free 的訓練，實務上需要兩個條件：

1. 不必解 ODE，就能輕鬆抽樣 \(\mathbf x_t\sim p_t(\cdot\mid\mathbf z)\)；
2. 條件速度 \(\mathbf v_t(\mathbf x_t\mid\mathbf z)\) 有好處理的式子，可以當回歸目標。

滿足這些條件的具體建構在 §5.3（B13）。所以就像 denoising score matching 透過好處理的條件 score 學到算不出來的邊際 score，Flow Matching 透過好處理的條件速度目標學到算不出來的邊際速度。

把上面的討論整理成定理：

這是條件化技巧第三次給出好處理的訓練目標，如上圖所示。值得注意的是，變分、score-based 和 flow-based 這三種方法都反映了同一個背後的原則。

和第 2 節一樣（那裡條件密度和條件速度都要明確指定：\(p_t(\mathbf x_t\mid\mathbf x_0)=\mathcal N(\mathbf x_t;\alpha_t\mathbf x_0,\sigma_t^2\mathbf I)\)、\(\mathbf v_t(\mathbf x_t\mid\mathbf x_0)=f(t)\mathbf x_t-\tfrac12g^2(t)\nabla_{\mathbf x_t}\log p_t(\mathbf x_t\mid\mathbf x_0)\)），一般的條件流匹配框架也需要這兩個元件。但我們還沒在一般情況下建構條件密度 \(p_t(\mathbf x_t\mid\mathbf z)\) 或條件速度場 \(\mathbf v_t(\mathbf x_t\mid\mathbf z)\)。§5.3（B13）會介紹幾個常見的實例。

Demo A條件流匹配：雜訊很大的目標，平均出邊際速度轉述者補充

來源 \(p_{\text{src}}=\mathcal N(0,1)\)，目標是 B08–B11 的 \(0.6\,\mathcal N(1.2,0.25^2)+0.4\,\mathcal N(-1,0.2^2)\)，用上面補充框裡的雙側直線路徑：\(x_t=(1-t)x_0+tx_1\)、條件速度 \(x_1-x_0\)，\(x_0\)、\(x_1\) 獨立抽樣。這個例子的邊際速度 \(v_t(x)=\mathbb E[x_1-x_0\mid x_t=x]\) 可以精確算出（給定混合成分時 \((x_t,x_1-x_0)\) 是聯合高斯）。按「訓練」：一個兩層、每層 48 個神經元的 MLP 只用 CFM 損失訓練 3,000 步，然後用 Euler 法從 \(t=0\) 解 ODE 到 \(t=1\) 生成樣本。

預設 \(t=0.5\) 時，點雲上下散得很開：同一個 \(x_t\) 對應的條件目標 \(x_1-x_0\) 有正有負，因為不知道它是從哪一對 \((x_0,x_1)\) 來的。灰色虛線是這團點在每個 \(x\) 的平均，也就是邊際速度。網路每一步只看到這些雜訊很大的單點目標，但最後學到的藍線在 \(p_t\) 有質量的範圍（底部灰色區域）貼在灰色虛線上，兩端沒有訓練樣本的地方才會分開；那些地方 ODE 的軌跡也幾乎不會經過。本機瀏覽器實測（訓練約 5.5 秒的純計算）：

這裡的 \(\mathcal L_{\text{FM}}\) 是用 \(t\in\{0.05,0.15,\dots,0.95\}\) 和精確密度做數值積分算的，訓練本身從頭到尾沒用到它。前 2,100 步的學習率是 \(3\times10^{-3}\)，\(\mathcal L_{\text{FM}}\) 在 0.02–0.03 附近上下跳；學習率降到 \(7.5\times10^{-4}\) 後才降到 0.006。學不掉的部分 \(-C\)（條件速度的後驗變異數）是 1.428，比可以學的部分大兩百倍以上：CFM 損失的數值幾乎全是這一項，所以看 CFM 損失本身判斷不出網路學得好不好。生成 2,000 個樣本（Euler 100 步）：學到的 \(v_{\bm\phi}\) 上團 59.4%、平均 0.303；精確的 \(v_t\) 上團 60.5%、平均 0.323；真值是 60% 和 0.320。精確速度場的小誤差來自 Euler 離散化和取樣。

04Diffusion model、一般的 FM 與 NODE 的比較書 §5.2.3

Diffusion model 與一般 FM 的比較

第 2 節的洞見引出保留同樣原則的擴展 FM 框架。為了突顯相似之處，整理成下表。這裡「一般的 FM」指雙側條件化、\(\mathbf x_0\sim p_{\text{src}}\) 和 \(\mathbf x_1\sim p_{\text{tgt}}\) 獨立抽樣的設定。

書提醒：只要高斯時程滿足 B10 Lemma 裡和 diffusion SDE 相容的條件（SNR 不增），Gaussian FM 本質上就等價於對應的 diffusion 寫法（第 6 章，B15–B17 會詳談）；所以除非特別說明，書不區分兩者。

和 NODE 的連結

FM 可以看成 NODE（B11）的 simulation-free 替代方案。CNF 在最大概似訓練時必須解 ODE，計算量很大；FM 則透過簡單的回歸損失直接回歸一個指定的速度場，繞過了這一點。關鍵的洞見是：一旦連接來源和目標分佈的邊際密度路徑固定下來，訓練時就不需要精確的模擬。

05（選讀）背後的規則書 §5.2.4

連續方程：質量守恆判準

和第 2 節的 PF-ODE 與 Fokker–Planck 分析類似，這裡給一個判準，檢驗 ODE 的流誘導出的密度路徑是否和指定的路徑 \(\{p_t\}_{t\in[0,1]}\) 一致。考慮描述粒子在隨時間變化的速度場 \(\mathbf v_t\) 下流動的 ODE \(\frac{d\mathbf x(t)}{dt}=\mathbf v_t(\mathbf x(t))\)。和前面一樣，這條 ODE 對任何 \(s,t\in[0,1]\) 定義了 flow map \(\bm\Psi_{s\to t}\)，特別是把時間 0 的初始點 \(\mathbf x_0\sim p_{\text{src}}\) 運送到它在時間 \(t\) 的狀態。時間 \(t\) 誘導出的分佈是 pushforward

所以只要 \(\mathbf x_0\sim p_{\text{src}}\)，就有 \(\bm\Psi_{0\to t}(\mathbf x_0)\sim p_t^{\text{fwd}}\)。同樣地，也可以透過 \(\bm\Psi_{1\to0}(\mathbf x_1)\) 從 \(\mathbf x_1\sim p_{\text{tgt}}\) 倒著運送到 \(p_{\text{src}}\)。假設給定一條指定的密度路徑 \(\{p_t\}\)，並建構了一個速度場 \(\{\mathbf v_t\}\) 來定義粒子流，自然的問題是：

一旦兩種密度演化對齊，就能靈活地用解 ODE 的方式在 \(p_{\text{src}}\) 和 \(p_{\text{tgt}}\) 之間運送樣本。一個有原則的檢驗方式就是連續方程，它刻畫了隨時間演化的密度的質量守恆：

從條件路徑到邊際路徑

如第 3 節，我們先定義條件機率路徑 \(p_t(\cdot\mid\mathbf z)\) 和對應的條件速度場 \(\mathbf v_t(\cdot\mid\mathbf z)\)，再透過下式建構邊際速度場：

但還需要確保這個邊際速度 \(\mathbf v_t\) 誘導的 ODE 流，它的密度路徑和指定的 \(p_t\) 一致。幸運的是，這個驗證完全可以在條件層級完成：如果每個條件速度場 \(\mathbf v_t(\cdot\mid\mathbf z)\) 都誘導出條件密度路徑 \(p_t(\cdot\mid\mathbf z)\)，那麼得到的邊際速度 \(\mathbf v_t\) 也誘導出正確的邊際路徑。

這個連結讓我們把可能算不出來的邊際速度場的建構，化約成定義比較簡單的條件速度場 \(\mathbf v_t(\cdot\mid\mathbf z)\)，它們依建構本來就比較好處理。

Demo B同一串分佈，不同的流轉述者補充

二維的機率路徑：\(p_t=\mathcal N(\mathbf m(t),\mathbf I)\)，中心 \(\mathbf m(t)=(4t-2,\,0)\) 從左平移到右。兩個速度場都實現這條路徑：

• 純平移：\(\mathbf v_t(\mathbf x)=\mathbf m'(t)=(4,0)\)。
• 平移加旋轉：\(\mathbf v_t(\mathbf x)=\mathbf m'(t)+\omega\,\mathbf J(\mathbf x-\mathbf m(t))\)，\(\mathbf J=\begin{bmatrix}0&-1\\1&0\end{bmatrix}\)（逆時針轉 90°）。多出來的 \(\omega\mathbf J(\mathbf x-\mathbf m)\) 就是第 3 節的 \(\tilde{\mathbf v}_t/p_t\)，\(\tilde{\mathbf v}_t=p_t\,\omega\mathbf J(\mathbf x-\mathbf m)\) 的散度為 0（\(p_t\) 是繞 \(\mathbf m\) 的圓對稱，而 \(\mathbf J(\mathbf x-\mathbf m)\) 永遠沿著等密度圓的切線方向）。

500 個粒子從 \(\mathcal N(\mathbf m(0),\mathbf I)\) 出發。拖動 \(t\)，比較兩種流：分佈（灰色的等高線，也就是 \(p_t\)）完全一樣，粒子的軌跡卻完全不同。

讀數裡兩組粒子的平均、變異數和共變異數在每個 \(t\) 都幾乎相同，而且和 \(p_t\) 的 \(\mathbf m(t)\)、\(\mathbf I\) 相符（和真值差約 0.1，是 500 個樣本的抽樣誤差，兩組共用同一批起點，所以誤差也一樣）。但同一個起點的位置不一樣：旋轉的流在時間 \(t\) 把相對位置轉了 \(\omega t\) 弧度，平均距離是 \(2|\sin(\omega t/2)|\,\mathbb E\Vert\mathbf u\Vert=2|\sin(\omega t/2)|\sqrt{\pi/2}\)。\(\omega=6\) 時：\(t=0.25\) 實測 1.75（公式 1.71）、\(t=0.5\) 實測 2.55（公式 2.50）；\(t=1\) 時轉了 6 弧度，幾乎轉回一圈，距離只剩 0.36（公式 0.35）。\(\omega=0\) 時兩種流完全重合，距離是 0。這正是第 3 節說的：連續方程只看密度，看不到粒子怎麼「排隊」。FM 選的是條件速度的後驗平均那一個；B13 會看到，就算來源和目標都是高斯，不同的選擇也會給出不同的軌跡。

與 CS236 的對照

常見誤解

自我測驗