單變數微積分 01 · MIT 18.01 Lec 1–2

導數是什麼；極限與連續

導數有兩個看法：圖形上，它是切線的斜率；物理上，它是瞬間的變化率。這一頁從「機器要怎麼畫切線」出發，得到導數的定義，用它算出 $1/x$ 和 $x^n$ 的導數；接著把定義裡藏著的「極限」講清楚：左右極限、連續，以及函數不連續的四種樣子。

▶ Lec 1（52 分） ▶ Lec 2（53 分） 18.01SC session 1–5 預計閱讀 1.5–2 小時

讀完這頁你應該能夠

說明切線為什麼是「割線的極限」，而不是「只碰到曲線一次的直線」。
寫出導數的定義 $f'(x_0) = \lim_{\Delta x\to0}\frac{f(x_0+\Delta x)-f(x_0)}{\Delta x}$，並說明為什麼不能直接代 $\Delta x = 0$。
用定義算出 $\frac{d}{dx}\frac1x = -\frac1{x^2}$ 和 $\frac{d}{dx}x^n = nx^{n-1}$，說出 $O(\Delta x^2)$ 是什麼意思。
區分平均變化率和瞬間變化率，並用 $\Delta L\approx\frac{dL}{dh}\Delta h$ 估計量測誤差的影響。
算左極限、右極限，用三個條件判斷函數在一點是否連續，認出跳躍、可移除、無窮、震盪四種不連續。
證明「可微就連續」，並舉出連續但不可微的例子。

前置知識檢查

這一頁只用到高中代數。下面四題如果有一題卡住，先複習那一項再往下讀。

1. 通過點 $(2, 5)$、斜率 $3$ 的直線方程式是什麼？

點斜式 $y - y_0 = m(x - x_0)$：$y - 5 = 3(x - 2)$，也就是 $y = 3x - 1$。整頁都會用這個式子寫切線。

2. 把 $\frac{1}{3.1} - \frac13$ 通分成一個分數。

$\frac{3 - 3.1}{3.1\times3} = \frac{-0.1}{9.3}$。第 3 節算 $1/x$ 的導數時，做的就是這一步，只是把 0.1 換成 $\Delta x$。

3. 展開 $(x + h)^2$ 和 $(x + h)^3$。

$x^2 + 2xh + h^2$；$x^3 + 3x^2h + 3xh^2 + h^3$。第 6 節會用到：只有第二項重要，其他項都帶著 $h^2$ 以上。

4. $f(x) = x^2 + 1$，$f(a + 1)$ 是什麼？

把 $x$ 換成 $a + 1$：$(a+1)^2 + 1 = a^2 + 2a + 2$。導數的定義裡有 $f(x_0 + \Delta x)$，就是這種代入。

00怎麼讀這一頁、素材對照

這一頁對應 18.01 的前兩堂課。建議的讀法：先看完 Lec 1，讀第 1–6 節；再看 Lec 2，讀第 7–14 節。每節標題旁的時間戳會跳到影片的那一段。

綠線框起來的「手算」，拿紙筆跟著算一次。
每個 demo 前面都寫了要看什麼：先猜結果，再動手拖。
每節最後有一句話摘要和小練習。答得出來再往下讀。

素材	對應內容
18.01 錄影（Jerison，2007）	Lec 1 導數的幾何意義、$1/x$、$x^n$；Lec 2 變化率、極限、連續
18.01 講義（2006）	Lecture 1、Lecture 2；補充 notes C〈Continuity and Discontinuity〉（離線包 `Course/static_resources/lec1.pdf`、`lec2.pdf`、`c_cntnt_dscntnt.pdf`）
18.01SC session 1–5	每個 session 的 notes，以及 worked examples：割線與切線、$\|x\|$ 的導數、帳戶餘額、連續但不平滑、極限與不連續（自我測驗用到其中幾題）
Strang Highlights of Calculus（RES.18-005）	短片 Big Picture of Calculus、Big Picture: Derivatives、Limits and Continuous Functions
Strang Calculus（RES.18-001）	第 1–2 章

2006 講義第 2 講最後的兩個三角極限 $\lim\frac{\sin\theta}{\theta} = 1$、$\lim\frac{1-\cos\theta}{\theta} = 0$，影片到 Lec 3 才證明，所以放在第 02 頁。

01切線問題：畫得出來，但機器要怎麼畫？ 3:50

為什麼需要它

Jerison 在黑板上畫了一條曲線，挑一點 $P$，隨手就畫出切線。他問：我是怎麼做到的？ 人可以「看」出來，但我們要的是一個機器也能照做的方法：給一個公式 $f(x)$ 和一個點 $x_0$，算出切線。

Jerison · Lec 1 6:03 the task that we have now is to figure out how to do it analytically, to do it in a way that a machine could just as well as I did in drawing this tangent line.

直線的方程式是 $y - y_0 = m(x - x_0)$。要寫出切線，需要兩樣東西：

點：$y_0 = f(x_0)$。把 $x_0$ 代進公式就有，不需要微積分。
斜率：$m$。這是微積分的部分，稱為 $f$ 在 $x_0$ 的導數，記作 $f'(x_0)$。

切線不是「只碰一次的線」

高中常說切線是「和曲線只交一點的直線」。這個說法不對：曲線可以彎來彎去，切線可以在別處再穿過曲線好幾次；反過來，一條很陡的直線可能只碰一次卻不是切線。9:53

真正的定義是：在曲線上另取一點 $Q$，連成割線 $PQ$。讓 $Q$ 沿著曲線往 $P$ 靠近，割線會轉動，最後停在一個位置，那就是切線。10:23

$$\text{切線} = \lim_{Q\to P}\ \text{割線 } PQ$$

一句話帶走：切線是 $Q$ 趨近 $P$ 時割線的極限位置；導數 $f'(x_0)$ 就是切線的斜率。

02差商：割線的斜率，以及導數的定義 12:27

把 $P$ 和 $Q$ 的座標寫出來。$P$ 在 $x_0$ 上方，$Q$ 往右移了水平距離 $\Delta x$（讀作 delta x，「$x$ 的改變量」）：

$P = (x_0,\ f(x_0))$
$Q = (x_0 + \Delta x,\ f(x_0 + \Delta x))$

垂直方向的差是 $\Delta f = f(x_0+\Delta x) - f(x_0)$。割線的斜率是「高除以底」：

$$\frac{\Delta f}{\Delta x} = \frac{f(x_0+\Delta x) - f(x_0)}{\Delta x}$$

這個式子叫差商（difference quotient）：分子是兩個函數值的差，分母其實也是差（右邊的 $x$ 減左邊的 $x$）。讓 $Q\to P$，就是讓 $\Delta x\to0$：

導數的定義 $$f'(x_0) = \lim_{\Delta x\to0}\frac{f(x_0+\Delta x) - f(x_0)}{\Delta x}$$

Jerison 把這個式子框起來，說它是這堂課「by far the most important formula」，後面幾乎所有公式都從它推出來。16:19

Demo 1 · 割線怎麼變成切線

怎麼看：

把 $\Delta x$ 從 1 慢慢拉向 0，看割線（橙）怎麼轉到切線（藍虛線）的位置，讀數裡的差商怎麼逼近 $f'(x_0)$。
$\Delta x$ 拉到負的，割線從左邊靠過來，最後停在同一條切線上。
下圖是導數函數 $f'(x)$。藍點是切線斜率，空心橙點是目前割線的斜率。拖 $x_0$，看藍點描出整條 $f'$。
選「0.5x³ − x」，比較 $x_0 = -0.75$、$0$、$0.75$ 三處：要讓差商離切線斜率不到 0.1，$\Delta x$ 各要多小？（18.01SC session 1 的例題）

函數

x₀ =

Δx =

顯示切線

f(x)割線 PQ切線f′(x)（下圖）

一句話帶走：導數 = 割線斜率 $\frac{\Delta f}{\Delta x}$ 在 $\Delta x\to0$ 時的極限。

Demo 裡的 18.01SC 例題：$f(x) = 0.5x^3 - x$，要讓差商離切線斜率不到 0.1，$x_0 = 0$ 和 $x_0 = \pm0.75$ 各需要多小的 $\Delta x$？

小練習：在 Demo 1 選 x²、$x_0 = 1$。$\Delta x = 0.5$ 和 $\Delta x = -0.5$ 時差商各是多少？兩者的平均是多少？

$\frac{1.5^2 - 1}{0.5} = 2.5$，$\frac{0.5^2 - 1}{-0.5} = 1.5$，平均剛好是 $2 = f'(1)$。對 $x^2$ 來說，左右兩邊的誤差都是 $\Delta x$，方向相反，所以一平均就抵消了。

03例一：$1/x$ 的導數 17:06

$f(x) = \frac1x$。把它代進差商：

$$\frac{\Delta f}{\Delta x} = \frac{\dfrac{1}{x_0+\Delta x} - \dfrac{1}{x_0}}{\Delta x}$$

如果現在就令 $\Delta x = 0$，分子 $\frac1{x_0} - \frac1{x_0} = 0$，分母也是 0，得到 $\frac00$，什麼都看不出來。導數永遠會遇到這個情況，所以一定要先做代數化簡，讓分母的 $\Delta x$ 消掉。20:44

化簡分兩步。第一步，把 $\frac{1}{\Delta x}$ 提到前面，括號裡兩個分數通分：

$$\frac{\Delta f}{\Delta x} = \frac{1}{\Delta x}\left[\frac{x_0 - (x_0+\Delta x)}{(x_0+\Delta x)\,x_0}\right] = \frac{1}{\Delta x}\left[\frac{-\Delta x}{(x_0+\Delta x)\,x_0}\right]$$

第二步，分子的 $-\Delta x$ 和前面的 $\frac1{\Delta x}$ 消掉：

$$\frac{\Delta f}{\Delta x} = \frac{-1}{(x_0+\Delta x)\,x_0}$$

現在可以令 $\Delta x\to0$ 了，分母不再是 0：

$$f'(x_0) = \lim_{\Delta x\to0}\frac{-1}{(x_0+\Delta x)\,x_0} = -\frac{1}{x_0^2}$$

手算

$x_0 = 3$。課堂上有學生問最後一步的極限怎麼來，Jerison 就代 $x_0 = 3$：分母是 $(3 + \Delta x)\cdot3$，$\Delta x$ 越來越小，分母趨近 9，所以極限是 $-\frac19$。23:26

$\Delta x$	差商 $\frac{-1}{(3+\Delta x)\cdot3}$	和 $-1/9$ 的差
0.1	−0.107527	0.003584
0.01	−0.110742	0.000369
0.001	−0.111074	0.000037

$\Delta x$ 每縮小 10 倍，差距也大約縮小 10 倍。

合理性檢查 21:52：$-1/x_0^2$ 永遠是負的，對應雙曲線一路往下坡；$x_0$ 越大，斜率的絕對值越小，對應曲線越往右越平。算完一個導數，先用圖形檢查正負和趨勢，是很好的習慣。

一句話帶走：$\frac{d}{dx}\frac1x = -\frac1{x^2}$；計算時先化簡消掉分母的 $\Delta x$，才能取極限。

小練習：用同樣的方法算 $f(x) = \frac{1}{x+1}$ 在 $x_0$ 的導數。

差商 $= \frac{1}{\Delta x}\cdot\frac{(x_0+1)-(x_0+\Delta x+1)}{(x_0+\Delta x+1)(x_0+1)} = \frac{-1}{(x_0+\Delta x+1)(x_0+1)}$，極限 $-\frac{1}{(x_0+1)^2}$。就是把 $1/x$ 的圖往左移 1。

04「把微積分變難」：切線三角形的面積永遠是 2 25:39

Jerison 說微積分名聲不好，是因為題目通常包在情境裡：微積分本身只是一小步，其他都是高中代數和幾何。他用一題示範：$y = 1/x$ 在第一象限的切線，和兩軸圍成的三角形，面積是多少？ 26:39

唯一的微積分步驟：切線。在 $(x_0, y_0)$，$y_0 = \frac1{x_0}$，斜率是上一節的 $-\frac1{x_0^2}$： $$y - y_0 = -\frac{1}{x_0^2}(x - x_0)\qquad(\star)$$
$x$ 截距：令 $y = 0$：$-\frac1{x_0} = -\frac{x}{x_0^2} + \frac1{x_0}$，移項得 $\frac{x}{x_0^2} = \frac2{x_0}$，所以 $x = 2x_0$。
$y$ 截距：$y = 1/x$ 和 $x = 1/y$ 是同一條曲線，把 $x$、$y$ 互換，圖形不變。所以由對稱，$y$ 截距是 $2y_0$。不放心的話，在 $(\star)$ 令 $x = 0$ 算一次。34:27
面積：$\frac12(2x_0)(2y_0) = 2x_0y_0 = 2x_0\cdot\frac1{x_0} = 2$。和切點在哪裡無關。40:33

Demo 2 · 切線三角形

怎麼看：拖動切點 $x_0$。三角形一下變得又高又瘦、一下又矮又胖，但讀數裡的面積一直是 2；兩個截距也一直是切點座標的兩倍。

切點 x₀ =

同一個字母，兩種意思

Jerison 特別指出這題裡藏著一個「刻意的草率」。38:00 第一次用 $y$ 時，它是曲線 $y = 1/x$ 上的點；求 $x$ 截距時令 $y = 0$，這時的 $y$ 是切線上的點，代的是 $(\star)$ 不是 $y = 1/x$。同一個字母在計算中途換了角色。這樣寫比較省事，大家都這樣做，但要清楚每一步代的是哪一條線的方程式，否則很容易代錯。

一句話帶走：應用題裡微積分通常只有一步（求切線斜率），其餘是代數；同一個字母可能在不同步驟代表不同的線。

05記號：Newton 和 Leibniz 41:41

$y = f(x)$ 時，$\Delta y$ 和 $\Delta f$ 是同一件事。導數有好幾種寫法，意思完全一樣：

寫法	來源	注意
$f'(x_0)$、$y'$	Newton	寫出了在哪一點算
$\frac{df}{dx}$、$\frac{dy}{dx}$、$\frac{d}{dx}f$	Leibniz	沒寫出在哪一點，要從上下文判斷

Leibniz 的寫法像一個分數 $\frac{\Delta y}{\Delta x}$ 取極限，提醒你它是「$y$ 的變化除以 $x$ 的變化」。後面學 chain rule 時，這個「像分數」的特性會很方便。

06例二：$x^n$ 的導數，以及「垃圾項」 43:48

$f(x) = x^n$，$n = 1, 2, 3, \ldots$。這次把 $x_0$ 直接寫成 $x$（Jerison 說是為了省黑板）：把 $x$ 想成固定，只有 $\Delta x$ 在動。

$$\frac{\Delta f}{\Delta x} = \frac{(x+\Delta x)^n - x^n}{\Delta x}$$

需要知道 $(x+\Delta x)^n$ 展開後長什麼樣子。它是 $n$ 個 $(x + \Delta x)$ 相乘，每個括號挑 $x$ 或 $\Delta x$：

全部挑 $x$：一項 $x^n$。
剛好一個括號挑 $\Delta x$、其他挑 $x$：有 $n$ 種挑法，每種都是 $x^{n-1}\Delta x$，合起來 $nx^{n-1}\Delta x$。
挑兩個以上的 $\Delta x$：每項至少帶 $(\Delta x)^2$。全部收成一包，記作 $O(\Delta x^2)$。

$$(x+\Delta x)^n = x^n + nx^{n-1}\Delta x + O(\Delta x^2)$$

$O(\Delta x^2)$ 讀作「$(\Delta x)^2$ 量級的東西」：一堆帶著 $(\Delta x)^2$、$(\Delta x)^3$……的項，我們不在乎它們的係數。代回差商：

$$\frac{\Delta f}{\Delta x} = \frac{x^n + nx^{n-1}\Delta x + O(\Delta x^2) - x^n}{\Delta x} = nx^{n-1} + O(\Delta x)$$

除掉一個 $\Delta x$ 之後，垃圾項還帶著至少一個 $\Delta x$，所以 $\Delta x\to0$ 時它消失。Jerison：「in math, junk is something that goes away」。49:26

冪次規則 $$\frac{d}{dx}x^n = nx^{n-1}$$

手算

$n = 3$，$x = 2$，公式給 $3\cdot2^2 = 12$。用 $\Delta x = 0.1$ 算差商：$\frac{2.1^3 - 8}{0.1} = \frac{9.261 - 8}{0.1} = 12.61$。

多出來的 0.61 就是垃圾項：$(x+\Delta x)^3$ 展開後除以 $\Delta x$，剩下 $3x\Delta x + \Delta x^2 = 0.6 + 0.01 = 0.61$。$\Delta x = 0.01$ 時它變成 $0.0601$，大約縮小 10 倍，所以寫成 $O(\Delta x)$。

推廣到多項式 49:56：每一項分開微分、常數倍照抄，例如 $\frac{d}{dx}(x^3 + 5x^{10}) = 3x^2 + 50x^9$。（為什麼可以分開微分，下一頁會講。）

課後有學生問：二項式定理是不是只在 $\Delta x\to0$ 時才成立？Jerison 回答：不是，二項式定理是對任何數都成立的完整公式，連垃圾項的係數都寫得出來；只是這裡不需要它們。50:27

一句話帶走：$(x+\Delta x)^n$ 只有前兩項重要，其餘是 $O(\Delta x^2)$，除以 $\Delta x$ 後在極限中消失，所以 $\frac{d}{dx}x^n = nx^{n-1}$。

小練習：$n = 0$ 和 $n = -1$ 時，$nx^{n-1}$ 給出什麼？和你知道的結果一致嗎？

$n = 0$：$x^0 = 1$ 是常數，公式給 $0\cdot x^{-1} = 0$，常數的導數確實是 0。$n = -1$：公式給 $-x^{-2}$，正是第 3 節算的 $1/x$ 的導數。Lec 2 開頭 Jerison 也指出了這兩個特例。Lec 2 10:08

在 DGM 哪裡用到：「留下前幾項，其餘丟進 $O(\cdot)$」就是 Taylor 展開的想法，見補充課 A §01；本系列第 04 頁會正式講線性與二次近似。

07導數是變化率：南瓜落下 Lec 2 2:14

Lec 2 換一個看法。把差商 $\frac{\Delta y}{\Delta x}$ 看成平均變化率：$x$ 是時間的話，它就是這段時間內的平均速度。取極限 $\frac{dy}{dx}$，就是瞬間變化率。

量	變化率
電荷 $q$	$\frac{dq}{dt}$ = 電流
距離 $s$	$\frac{ds}{dt}$ = 速度
溫度 $T$（隨位置 $x$）	$\frac{dT}{dx}$ = 溫度梯度（預報天氣時很重要：溫差造成氣流）12:13

MIT 的萬聖節傳統是從教室所在的大樓頂樓丟南瓜。Jerison 把樓高簡化成 80 公尺（實際約 300 英尺），高度是 6:55

$$h(t) = 80 - 5t^2\quad(\text{公尺，}t\text{ 是秒})$$

$t = 0$ 在頂樓；$t = 4$ 時 $5\cdot4^2 = 80$，落地。

手算

平均速度（整段 0 到 4 秒）：$\frac{\Delta h}{\Delta t} = \frac{0 - 80}{4 - 0} = -20$ 公尺／秒。負號代表往下。8:32

落地瞬間的速度：$h'(t) = 0 - 5\cdot2t = -10t$（常數的導數是 0，$t^2$ 的導數是 $2t$），所以 $h'(4) = -40$ 公尺／秒，是平均速度的兩倍，約時速 90 英里。10:38

用越來越短的最後一段時間算平均速度，會逼近 $-40$：

時間區間	$h$ 的變化	平均速度
[3, 4]	35 → 0	−35
[3.9, 4]	3.95 → 0	−39.5
[3.99, 4]	0.3995 → 0	−39.95

在 Demo 1 選「h(t) = 80 − 5t²」、把 $x_0$ 拉到 4，就能看到這個過程。觀眾真正在乎的是落地瞬間有多快，不是平均速度，這正是導數回答的問題。

2006 年的講義用英制：樓高 400 英尺，$y = 400 - 16t^2$，5 秒落地，平均 80 英尺／秒、落地 −160 英尺／秒（約時速 110 英里）。數字不同，結論一樣：落地速度是平均速度的兩倍。

一句話帶走：差商是一段區間的平均變化率；導數是區間縮到 0 時的瞬間變化率。

08量測的敏感度：誤差會被放大多少 12:43

變數不一定是時間。Jerison 用 GPS 的簡化模型（「平地球」，第一次作業的題目）：衛星正下方的地面點已知，你和衛星的距離 $h$ 用無線電訊號量出來，系統再從 $h$ 推算你離那個地面點多遠，記作 $L$。

$h$ 的量測一定有誤差 $\Delta h$（主要來自電離層）。問題是：$L$ 會跟著錯多少？把差商反過來用：

$$\frac{\Delta L}{\Delta h}\approx\frac{dL}{dh}\quad\Longrightarrow\quad\Delta L\approx\frac{dL}{dh}\,\Delta h$$

導數是「放大倍數」：$h$ 錯 1 公尺，$L$ 大約錯 $\frac{dL}{dh}$ 公尺。Jerison 說這類計算每天都用在讓飛機降落。16:04

手算（本頁自己的數字，不是作業題）

平地球模型是一個直角三角形：衛星高度 $s$、斜邊 $h$、底邊 $L = \sqrt{h^2 - s^2}$。取 $s = 4$，用差商估計導數：

情況	$h \to h + 0.01$	$L$ 的變化	$\frac{\Delta L}{\Delta h}$
離得遠	5 → 5.01	3 → 3.01664	≈ 1.66
幾乎在正下方	4 → 4.01	0 → 0.28302	≈ 28.3

人幾乎在衛星正下方時，$h$ 的一點點誤差會讓 $L$ 錯 28 倍。精確的 $\frac{dL}{dh}$ 要用下一頁的 chain rule 才算得出來，但差商已經告訴我們放大倍數大概多少。

一句話帶走：輸入有小誤差 $\Delta h$，輸出的誤差大約是 $\frac{dL}{dh}\,\Delta h$；導數越大，量測越敏感。

在 DGM 哪裡用到：訓練神經網路時，參數動一小步 $\Delta\theta$，loss 大約改變 $\frac{d\,\text{loss}}{d\theta}\,\Delta\theta$。gradient descent 就是靠這個「放大倍數」決定往哪邊走。多變數版本見補充課 A §02。

09極限：好算的極限，以及導數永遠是 0/0 18:09

導數的定義裡有極限，現在把極限講清楚一點。

好算的極限：直接代入就好。例如 18:40

$$\lim_{x\to4}\frac{x+3}{x^2+1} = \frac{4+3}{4^2+1} = \frac{7}{17}$$

導數的極限永遠不好算：把定義寫成 $\lim_{x\to x_0}\frac{f(x)-f(x_0)}{x-x_0}$，直接代 $x = x_0$ 一定得到 $\frac00$。所以一定需要某種消去（第 3、6 節做的就是這件事）。20:13

關鍵是：$x\to x_0$ 的極限，從來不看 $x = x_0$ 那一點，只看 $x$ 靠近但不等於 $x_0$ 時函數往哪裡去。這一點在第 11 節（連續）和第 14 節（證明）都會用到。

10左極限與右極限 21:20

右極限 $\lim_{x\to x_0^+}f(x)$：只從右邊靠近（$x > x_0$）。
左極限 $\lim_{x\to x_0^-}f(x)$：只從左邊靠近（$x < x_0$）。

一般的（雙邊）極限存在，若且唯若左右極限都存在而且相等。

手算

Lec 2 的例子 23:25：

$$f(x) = \begin{cases}x + 1, & x > 0\\ -x + 2, & x < 0\end{cases}$$

右極限：從右邊來用 $x + 1$，$\lim_{x\to0^+}(x+1) = 1$。
左極限：從左邊來用 $-x + 2$，$\lim_{x\to0^-}(-x+2) = 2$。

兩個不相等，所以 $\lim_{x\to0}f(x)$ 不存在。注意整個計算沒有用到 $f(0)$，題目甚至沒有定義 $f(0)$。25:31 如果補上 $f(0) = 1$（實心點畫在右邊那段），$f(0)$ 就剛好等於右極限。

一句話帶走：左右極限各自只看一邊；兩邊都存在且相等，雙邊極限才存在。

11連續的定義 27:13

連續 $$f\text{ 在 }x_0\text{ 連續}\iff\lim_{x\to x_0}f(x) = f(x_0)$$

這一行其實包含三個條件：

極限存在：左極限、右極限都存在，而且相等。
$f(x_0)$ 有定義。
兩者相等。

這個定義看起來像廢話（「靠近時的值等於那一點的值」），但它不是，因為左邊的極限是不看 $x_0$ 那一點算出來的，右邊卻只看那一點。兩個獨立算出來的數相等，才是連續。連續的函數正好就是「極限可以直接代入」的那種：第 9 節的「好算的極限」。29:50

12不連續的四種樣子 30:54

Jerison 帶大家參觀不連續函數的「動物園」。對照上一節的三個條件，看每一種是哪個條件壞掉：

種類	左右極限	例子
跳躍	都存在，但不相等	第 10 節的分段函數（左 2、右 1）
可移除	都存在而且相等，但 $f(x_0)$ 沒定義或值不對	$\frac{\sin x}{x}$、$\frac{1-\cos x}{x}$ 在 0
無窮	至少一邊是 $\pm\infty$	$\frac1x$ 在 0
其他（醜的）	至少一邊根本不存在，連 $\pm\infty$ 都不是	$\sin\frac1x$ 在 0

跳躍：看起來很技術性，但 Jerison 舉了 MIT 教授 Robert Merton 的例子：他在得到諾貝爾經濟學獎的工作裡，就認真處理了股價模型是「從左邊連續」還是「從右邊連續」。時間上左邊是過去、右邊是未來，差別很大。32:02
可移除：圖上只缺一個洞，把那一點補上（或改成）極限值，就變連續。$\lim_{x\to0}\frac{\sin x}{x} = 1$、$\lim_{x\to0}\frac{1-\cos x}{x} = 0$ 現在還沒證明，下一頁才證。學生問為什麼，Jerison 說：如果你不覺得意外，那才奇怪。36:30
無窮：$\lim_{x\to0^+}\frac1x = +\infty$，$\lim_{x\to0^-}\frac1x = -\infty$。這時寫「$\lim_{x\to0}\frac1x = \infty$」是錯的，不只是草率：兩邊去的方向相反。Jerison 的比喻：正無窮是無限多的錢，負無窮是無限多的債。39:16
醜的：$\sin\frac1x$ 在 0 附近無限次上下震盪，左右極限都不存在。這門課不會處理它們。43:33

Demo 3 · 從左右兩邊靠近

怎麼看：

把「距離 δ」往右拉（δ 越來越小），橙點從左邊、藍點從右邊靠近 $x = 0$。看讀數裡兩邊的函數值往哪裡去。
「跳躍」：兩邊各自停在一個數，但不是同一個。「可移除」：兩邊停在同一個數，那一點卻是空心的洞。
「無窮」：一邊衝向 $+\infty$、一邊衝向 $-\infty$。「sin(1/x)」：δ 再小，數值還是亂跳。
「|x|」是連續的；它的毛病在導數，第 14 節會用到。

函數（都看 x = 0 這一點）

距離 δ = 10^(−k)，k =

從左邊：x = −δ從右邊：x = +δ

一句話帶走：不連續就是「極限存在、$f(x_0)$ 有定義、兩者相等」至少一項失敗；看是哪一項失敗，就知道是哪一種。

小練習：$f(x) = \frac{x^2-1}{x-1}$ 在 $x = 1$ 是哪一種不連續？怎麼修好？

$x \ne 1$ 時 $f(x) = x + 1$，左右極限都是 2，但 $f(1)$ 沒定義（$\frac00$），所以是可移除的不連續。補上 $f(1) = 2$ 就連續了。（這是 notes C 的例子。）

13導數的圖，長得不像原函數 40:21

把 $f(x) = \frac1x$ 和 $f'(x) = -\frac1{x^2}$ 上下畫在一起：$f$ 在右半邊是正的、往下走；在左半邊是負的、也往下走。$f'$ 則兩邊都是負的，在 0 附近衝向 $-\infty$。

這看起來很怪，但導數記錄的是斜率，不是高度。左半邊的 $1/x$ 從接近 0 的地方一路往下掉到 $-\infty$，一直在下坡，而且越靠近 0 越陡，所以斜率是負的、越來越負。右半邊也在下坡，只是越往右越平。兩邊的斜率都是負的，所以 $f'$ 整條都在橫軸下方。Jerison 的提醒：「The derivative function looks nothing like the function, necessarily.」40:51 在 Demo 1 選 1/x 或 0.5x³ − x，拖動 $x_0$，看下圖的藍點怎麼描出 $f'$。

順帶一提：$\frac1x$ 是奇函數（$f(-x) = -f(x)$），它的導數 $-\frac1{x^2}$ 是偶函數。奇函數的導數一定是偶函數，反過來也一樣。42:31

一句話帶走：$f'$ 的高度是 $f$ 的斜率；不要期待兩張圖長得像。

14可微就連續 45:10

定理若 $f$ 在 $x_0$ 可微（$f'(x_0)$ 存在），則 $f$ 在 $x_0$ 連續。

下一頁證明乘積規則和商規則時要用到它。證明只有一行。

證明

要證的是 $\lim_{x\to x_0}f(x) = f(x_0)$，等價於 $\lim_{x\to x_0}\bigl(f(x) - f(x_0)\bigr) = 0$。把它乘以再除以 $(x - x_0)$：

$$\lim_{x\to x_0}\bigl(f(x)-f(x_0)\bigr) = \lim_{x\to x_0}\frac{f(x)-f(x_0)}{x-x_0}\cdot(x-x_0)$$

第一個因子的極限是 $f'(x_0)$（這就是可微的假設），第二個因子的極限是 0。所以整個極限是 $f'(x_0)\cdot0 = 0$。證畢。

可疑的地方 48:19：乘以再除以 $(x - x_0)$，看起來像是乘以 $\frac00$。但第 9 節說過，$x\to x_0$ 的極限從來不看 $x = x_0$ 那一點，所以 $x - x_0$ 雖然很小，卻永遠不是 0，這一步完全合法。

反過來不對

連續不一定可微。$f(x) = |x|$ 在 0 連續（Demo 3 選 |x|），但差商在右邊是 $\frac{|\Delta x|}{\Delta x} = 1$、在左邊是 $-1$，左右不相等，所以 $f'(0)$ 不存在：圖形在 0 有一個尖角。18.01SC session 2 的例題問的就是這件事；notes C 也指出，$|x|$ 連續，但它的導數在 0 有跳躍不連續。

一句話帶走：可微 ⇒ 連續；連續不一定可微（尖角）。所以不連續的地方一定不可微。

在 DGM 哪裡用到：神經網路常用的 ReLU $\max(0, x)$ 和 $|x|$ 一樣，在 0 連續但有尖角、沒有導數。自動微分在那一點直接規定一個值，實務上幾乎不會剛好落在 0，所以不影響訓練。Normalizing flow 則要求變換處處可微而且可逆，才能用導數算密度怎麼變，見 CS236 第 7 講。

15在 deep generative models 哪裡用到

這一頁	在 DGM 的樣子
導數 = 斜率 = 變化率	梯度是多變數版本；score $\frac{d}{dx}\log p(x)$ 是 log 密度的斜率，指向機率變大的方向。見補充課 A §02
差商 $\frac{f(x+h)-f(x)}{h}$	檢查梯度程式有沒有寫錯的標準做法（gradient check）就是拿差商和自動微分的結果比對
$\Delta L\approx\frac{dL}{dh}\Delta h$	gradient descent：參數走一小步，loss 大約改變「梯度 × 步長」
$O(\Delta x^2)$	Taylor 展開、Euler 法的誤差階數，見補充課 A §01
連續、可微	ReLU 的尖角；flow 要求可微可逆

常見誤解

誤解：「切線就是和曲線只交一點的直線」。切線可以在別處再穿過曲線；一條只碰一次的直線也可能不是切線。切線是割線的極限（第 1 節）。

誤解：「算導數時直接令 $\Delta x = 0$」。一定得到 $\frac00$。要先化簡，把分母的 $\Delta x$ 消掉，再取極限（第 3 節）。

誤解：「$\lim_{x\to0}\frac1x = \infty$」。右極限是 $+\infty$、左極限是 $-\infty$，雙邊極限不存在。這不是草率，是錯的。相對地，$\lim_{x\to0}\frac1{x^2} = \infty$ 是對的，因為兩邊都往 $+\infty$。

誤解：「函數往下走，導數也往下走」。導數的高度是斜率，和函數的高度、走勢都不必相似（第 13 節）。

誤解：「連續就可微」。$|x|$ 連續但在 0 不可微。只有反方向成立：可微 ⇒ 連續（第 14 節）。

講義的筆誤：2006 年 Lecture 2 講義第 3 頁的分段函數寫成「$x + 1,\ x > 0$；$-x,\ x \ge 0$」，第二行的條件應該是 $x \le 0$（圖上 $f(0) = 0$ 的實心點在左邊那段）。

自我測驗

1. 用定義算 $f(x) = x^2$ 在 $x_0$ 的導數，並寫出 $x_0 = 3$ 的切線方程式。

$\frac{(x_0+\Delta x)^2 - x_0^2}{\Delta x} = \frac{2x_0\Delta x + \Delta x^2}{\Delta x} = 2x_0 + \Delta x\to2x_0$。$x_0 = 3$：點 $(3, 9)$、斜率 6，切線 $y - 9 = 6(x - 3)$，即 $y = 6x - 9$。

2. （18.01SC 例題）帳戶餘額 $f(t) = -5t^2 + 60t + 120$ 美元，$t$ 是月份。$f'(1)$、$f'(10)$ 各是多少？哪個月餘額最高？

$f'(t) = -10t + 60$。$f'(1) = 50 > 0$，二月比一月多；$f'(10) = -40 < 0$，年底在減少，所以不是一路增加。$f'(t) = 0$ 在 $t = 6$，餘額最高 $f(6) = 300$ 美元，那時 $f' = 0$。

3. （18.01SC 例題）找常數 $a, b$，使 $f(x) = ax + b$（$x > 0$）、$\sin2x$（$x \le 0$）在 0 連續但不可微。

連續：右極限 $b$ 要等於 $f(0) = \sin0 = 0$，所以 $b = 0$。不可微：左邊 $\sin2x$ 在 0 的斜率是 2（下一頁會證明 $\frac{d}{dx}\sin2x = 2\cos2x$），右邊的斜率是 $a$，要有尖角就要 $a \ne 2$。答案：$b = 0$、任何 $a \ne 2$。

4. （18.01SC 例題）哪些要用單邊極限？求出每個極限：(a) $\lim_{x\to0}\sqrt x$　(b) $\lim_{x\to-1}\frac1{x+1}$　(c) $\lim_{x\to1}\frac1{(x-1)^4}$　(d) $\lim_{x\to0}|\sin x|$　(e) $\lim_{x\to0}\frac{|x|}{x}$

(a) 單邊：$\sqrt x$ 只在 $x\ge0$ 有定義，$\lim_{x\to0^+}\sqrt x = 0$。(b) 單邊：右 $+\infty$、左 $-\infty$，雙邊不存在。(c) 雙邊：兩邊都是 $+\infty$。(d) 雙邊：0。(e) 單邊：右 1、左 −1，雙邊不存在（跳躍）。

5. 從 80 公尺丟南瓜，$h = 80 - 5t^2$。什麼時候的瞬間速度剛好等於整段的平均速度 −20 公尺／秒？

$h'(t) = -10t = -20$，$t = 2$ 秒，剛好是落地時間 4 秒的一半。（第 06 頁的均值定理會說明：一定有某個時刻的瞬間速度等於平均速度。）

6. $f(x) = \frac{|x|}{x}$ 在 0 是哪一種不連續？$g(x) = x\sin\frac1x$（$x \ne 0$）在 0 呢？

$f$：左 −1、右 1，跳躍。$g$：$|x\sin\frac1x| \le |x|\to0$，左右極限都是 0，但 $g(0)$ 沒定義，所以是可移除的；補上 $g(0) = 0$ 就連續。乘上 $x$ 把 $\sin\frac1x$ 的亂跳壓扁了。

量	變化率
電荷 \(q\)	\(\frac{dq}{dt}\) = 電流
距離 \(s\)	\(\frac{ds}{dt}\) = 速度
溫度 \(T\)（隨位置 \(x\)）	\(\frac{dT}{dx}\) = 溫度梯度（預報天氣時很重要：溫差造成氣流）12:13