單變數微積分 02 · MIT 18.01 Lec 3–4

微分規則：三角函數、乘積、商、chain rule

上一頁用定義算了 $1/x$ 和 $x^n$。這一頁要拿到「把任何函數都微分」的工具：先用兩個幾何極限算出 $\sin$ 和 $\cos$ 的導數，再證明乘積、商、合成（chain rule）三條一般規則，最後是高階導數。有了這些，常見的函數幾乎都能微分。

▶ Lec 3（50 分） ▶ Lec 4（46 分） 18.01SC session 6–12 預計閱讀 1.5–2 小時

讀完這頁你應該能夠

用 $\sin$ 的和角公式和兩個極限 $\lim\frac{\sin\theta}{\theta} = 1$、$\lim\frac{1-\cos\theta}{\theta} = 0$，推導 $(\sin x)' = \cos x$、$(\cos x)' = -\sin x$。
用圖解釋那兩個極限（「短的曲線幾乎是直的」），並說明為什麼角度一定要用弧度。
證明乘積規則和商規則，指出證明裡哪一步用到「可微就連續」。
用 chain rule 微分合成函數，例如 $\sin^{10}t$、$\sin10t$，並說出它為什麼是「放大倍數相乘」。
寫出高階導數的各種記號，算出 $\sin x$ 的各階導數和 $D^nx^n = n!$。

前置知識檢查

1. 寫出 $\sin(a+b)$ 和 $\cos(a+b)$ 的和角公式。

$\sin(a+b) = \sin a\cos b + \cos a\sin b$；$\cos(a+b) = \cos a\cos b - \sin a\sin b$。Jerison 上課時一開始也寫錯，全班投票才改對，所以要背熟。Lec 3 3:54

2. 180° 是幾弧度？1 弧度大約幾度？

$\pi$ 弧度；1 弧度 $= \frac{180°}{\pi}\approx57.3°$。弧度的定義：單位圓上，角 $\theta$ 所對的弧長就是 $\theta$。

3. 單位圓上角度 $\theta$ 的點，座標是什麼？

$(\cos\theta, \sin\theta)$。$\sin\theta$ 是高度，$\cos\theta$ 是水平位置。

4. 用上一頁的定義，$\frac{d}{dx}x^5$ 和 $\frac{d}{dx}\frac1x$ 是什麼？

$5x^4$；$-\frac1{x^2}$。見第 01 頁 §6、§3。

00怎麼讀這一頁、素材對照

Lec 3 由 Jerison 講三角函數的導數，最後只宣布乘積和商規則；Lec 4 由代課的 Haynes Miller 證明它們，再講 chain rule 和高階導數。建議先看 Lec 3、讀第 1–7 節，再看 Lec 4、讀第 8–11 節。

素材	對應內容
18.01 錄影	Lec 3（Jerison）sin、cos 的導數與兩個極限；Lec 4（Haynes Miller 代課）乘積、商、chain rule、高階導數
18.01 講義（2006）	Lecture 2 最後兩頁（兩個三角極限的圖）、Lecture 3、Lecture 4（離線包 `lec2.pdf`–`lec4.pdf`）
18.01SC session 6–12	worked examples：sin 的導數圖、sinc 函數、分段多項式的平滑接合、商規則練習、不用商規則、sin 的重複微分（自我測驗用到其中幾題）
Strang Highlights of Calculus	短片 Derivative of sin x and cos x、Product Rule and Quotient Rule、Chains f(g(x)) and the Chain Rule、Six Functions, Six Rules, and Six Theorems
Strang Calculus	第 2、4 章

01兩種公式：特定的和一般的 Lec 3 0:32

導數公式分兩種：

特定的：某一個函數的導數，例如 $(x^n)' = nx^{n-1}$、$(1/x)' = -1/x^2$，以及這一頁要算的 $\sin$、$\cos$。
一般的：怎麼把函數組合起來再微分，例如和 $(u + v)' = u' + v'$、常數倍 $(cu)' = cu'$，以及這一頁的乘積、商、合成。

手上有幾個特定的函數，再用一般規則組合，就能生出很多新的可微函數。Jerison 說這一單元的目標是「微分任何你寫得出來的函數」。

證明 $(u+v)' = u' + v'$（2006 講義 Lecture 3） $$\frac{(u+v)(x+\Delta x) - (u+v)(x)}{\Delta x} = \frac{u(x+\Delta x)-u(x)}{\Delta x} + \frac{v(x+\Delta x)-v(x)}{\Delta x}\ \xrightarrow{\Delta x\to0}\ u'(x) + v'(x)$$

只是把分子拆成兩組。$(cu)' = cu'$ 同理：常數 $c$ 可以提到極限外面。

02sin 和 cos 的導數 2:41

寫出 $\sin x$ 的差商，唯一能做的事是用和角公式展開 $\sin(x + \Delta x)$：

$$\frac{\sin(x+\Delta x) - \sin x}{\Delta x} = \frac{\sin x\cos\Delta x + \cos x\sin\Delta x - \sin x}{\Delta x}$$

接下來要分組。Jerison 強調一個原則：這種極限代 $\Delta x = 0$ 都是 $\frac00$，分組時要讓「是 0 的東西」除以「是 0 的東西」，不能出現非零除以 0。5:43 $\cos\Delta x\to1$ 不是 0，所以要把它和後面的 $-\sin x$ 綁在一起，湊出 $\cos\Delta x - 1$：

$$= \sin x\cdot\underbrace{\frac{\cos\Delta x - 1}{\Delta x}}_{\to\,0\ \text{(A)}} + \cos x\cdot\underbrace{\frac{\sin\Delta x}{\Delta x}}_{\to\,1\ \text{(B)}}$$

只要 (A)、(B) 兩個極限成立，$\Delta x\to0$ 時第一項消失、第二項剩 $\cos x$：8:25

$\cos x$ 完全一樣，用 $\cos(a+b) = \cos a\cos b - \sin a\sin b$：9:31

$$\frac{\cos(x+\Delta x)-\cos x}{\Delta x} = \cos x\cdot\frac{\cos\Delta x - 1}{\Delta x} - \sin x\cdot\frac{\sin\Delta x}{\Delta x}\ \to\ -\sin x$$

三角函數的導數（x 用弧度） $$\frac{d}{dx}\sin x = \cos x,\qquad\frac{d}{dx}\cos x = -\sin x$$

兩個極限現在還沒證明。Jerison 先把它們標成 (A)、(B)，第 4、5 節再證。

一句話帶走：用和角公式展開、把 $\cos\Delta x - 1$ 綁在一起，靠 (A)、(B) 兩個極限得到 $(\sin x)' = \cos x$、$(\cos x)' = -\sin x$。

小練習（18.01SC session 7 的例題）：不看公式，$\sin x$ 在哪些 $x$ 斜率是 0？在哪裡斜率最大？畫出它的導數，像什麼？

山頂和谷底（$x = \frac\pi2, \frac{3\pi}2, \ldots$）斜率是 0；穿過橫軸的地方（$x = 0, \pi, 2\pi, \ldots$）最陡，$x = 0, 2\pi$ 處斜率 $+1$、$x = \pi$ 處 $-1$。把這些點連起來就是 $\cos x$。

03結構：只需要 0 那一點的斜率 12:09

(A)、(B) 其實就是 $\cos$ 和 $\sin$ 在 $x = 0$ 的導數：

$$\left.\frac{d}{dx}\cos x\right|_{x=0} = \lim_{\Delta x\to0}\frac{\cos\Delta x - \cos0}{\Delta x} = \lim\frac{\cos\Delta x - 1}{\Delta x}\ \text{(A)},\qquad\left.\frac{d}{dx}\sin x\right|_{x=0} = \lim\frac{\sin\Delta x}{\Delta x}\ \text{(B)}$$

所以上一節的推導在說：只要知道 $\sin$、$\cos$ 在 0 的斜率，和角公式就能把它搬到每一點。 13:48 整個問題縮成兩個數：0 和 1。

04證明 (B)：sin θ / θ → 1 15:08

$\sin$ 只有幾何的定義，所以證明一定是幾何的。把 $\Delta x$ 改名成角度 $\theta$，在單位圓上畫出來：

綠色：$\sin\theta$ 是點的高度，也就是一段垂直線段。
橙色：角 $\theta$ 所對的弧，用弧度量，長度就是 $\theta$。

Jerison 把圖往下對稱複製一份，變成一把弓：弓弦（綠）長 $2\sin\theta$，弓身（橙）長 $2\theta$。17:49

$$\frac{\sin\theta}{\theta} = \frac{2\sin\theta}{2\theta} = \frac{\text{弓弦}}{\text{弓身}}$$

$\theta$ 越小，弓身越接近直線，和弓弦幾乎重疊，長度也越來越接近，比值趨近 1。Jerison 把原理濃縮成一句：short pieces of curves are nearly straight。20:03

Demo 1 · 弓和弓弦

怎麼看：

把 $\theta$ 往小拉。左圖是原尺寸，弓越來越小；右圖把弓弦固定放大到同樣大小（相當於 Jerison 說的把頂點推到很遠的地方），看弓身怎麼變直、和弓弦重疊。
讀數裡 $\frac{\sin\theta}{\theta}$ 趨近 1，$\frac{1-\cos\theta}{\theta}$ 趨近 0。右圖紅色的小縫就是 $1 - \cos\theta$：它不只變小，而且比弓弦縮得更快。
最後一行是「如果用度」：$\frac{\sin(\theta°)}{\theta}$ 趨近的是 $\frac{\pi}{180}\approx0.01745$，不是 1（第 6 節）。

θ =

原尺寸（單位圓）

放大到弓弦一樣大

弓弦 2 sin θ弓身（弧）2θ縫 1 − cos θ

一句話帶走：$\frac{\sin\theta}{\theta}$ 是弓弦和弓身的長度比；角度越小弓身越直，比值趨近 1。

05證明 (A)：(1 − cos θ) / θ → 0 20:39

(A) 寫成 $\frac{\cos\theta - 1}{\theta}\to0$，分子是負的。翻個號，改證 $\frac{1-\cos\theta}{\theta}\to0$，這樣分子是一段長度。

在同一把弓上：頂點到弓弦的距離是 $\cos\theta$，頂點到弓身最遠處是半徑 1，所以弓弦和弓身之間的縫長 $1 - \cos\theta$。22:44 $\theta$ 越小，弓身越貼近弓弦，縫越來越小。

學生問：分母 $\theta$ 也趨近 0，這不就只是 $\frac00$ 嗎？Jerison 回答：兩個都趨近 0，但縫比弓身短得多。(B) 裡兩者一樣長所以比值是 1；這裡縫和弓身比起來小到可以忽略，所以比值是 0。25:50 他也說明圖為什麼要不斷放大：$\theta$ 很小時圖會縮成一條線，要放大才看得到縫和弓弦的差別。31:21

背景補充：縫到底多小？（課堂沒有講，用的是第 04 頁的二次近似）

Demo 1 的讀數裡有一行 $\frac{1-\cos\theta}{\theta^2}$，它趨近 $\frac12$。也就是說 $1 - \cos\theta\approx\frac12\theta^2$：縫的大小是 $\theta^2$ 量級，所以除以 $\theta$ 之後還剩一個 $\theta$，趨近 0。這是第 01 頁「垃圾項 $O(\Delta x^2)$」的又一個例子，第 04 頁會正式推導 $\cos\theta\approx1 - \frac{\theta^2}2$。

一句話帶走：縫 $1-\cos\theta$ 比弓身 $\theta$ 縮得快得多，所以比值趨近 0。

06為什麼一定要用弧度 28:03

(B) 的證明比較的是兩段長度：垂直的弓弦和彎的弓身。弓身的長度等於 $\theta$，只在 $\theta$ 用弧度時成立。如果用度，$\theta = 30$ 代表的弧長其實是 $\frac{30\pi}{180}$，比較就完全錯了。Jerison：「The formulas are just wrong if you use other units.」29:41

手算

令 $s(d) = \sin(d°)$，$d$ 是度數。$d°$ 換成弧度是 $\frac{\pi d}{180}$，所以 $s(d) = \sin\frac{\pi d}{180}$。用下面第 10 節的 chain rule：

$$s'(d) = \frac{\pi}{180}\cos\frac{\pi d}{180}\approx0.01745\cos(d°)$$

多了一個 $\frac{\pi}{180}$ 的常數。只有用弧度，$\sin$ 的導數才剛好是 $\cos$。

07另一個證明：在圓上走一小步 34:26

第 2 節只在 0 用了幾何，其他靠和角公式。Jerison 再給一個每一點直接用幾何的證明，用的是同一個原理。

一個點在單位圓上走，角度 $\theta$ 時在 $P$，高度 $y = \sin\theta$。讓角度多走 $\Delta\theta$，點到 $Q$。從 $P$ 往上畫垂直線、從 $Q$ 往左畫水平線，交於 $R$，得到直角三角形 $PRQ$，高度的改變 $\Delta y$ 就是 $PR$。37:26

斜邊：弧 $PQ$ 長 $\Delta\theta$；短的曲線幾乎是直的，所以直線段 $PQ\approx\Delta\theta$。39:59
角 $QPR$：$PQ$ 幾乎是圓在 $P$ 的切線，和半徑 $OP$ 垂直；$PR$ 是垂直線。把「水平線和 $OP$ 的夾角 $\theta$」整個轉 90°，水平線變成垂直的 $PR$，$OP$ 變成 $PQ$，所以角 $QPR\approx\theta$。43:09
鄰邊：$\Delta y = PR\approx PQ\cdot\cos\theta\approx\Delta\theta\cos\theta$，所以 $\frac{\Delta y}{\Delta\theta}\approx\cos\theta$，極限時等號成立。45:43

Demo 2 · 單位圓上的三角形 PRQ

怎麼看：拖 $\theta$ 繞一圈，再把 $\Delta\theta$ 拉小。讀數比較三組數：弦長 $PQ$ 和弧長 $\Delta\theta$、角 $QPR$ 和 $\theta$、$\frac{\Delta y}{\Delta\theta}$ 和 $\cos\theta$。$\Delta\theta$ 越小，三組越接近。$\theta$ 在 90° 和 270° 附近，$\cos\theta$ 是 0，三角形幾乎是平的：點正在頂端或底端橫著走，高度不變。

θ =

Δθ =

有學生問以後還要不要做這種幾何證明。Jerison 說 18.02 會常用：弧長的理論就是用這種 $\Delta x$、$\Delta y$ 的推理建立起來的。46:47

08乘積規則 Lec 4 2:43

Lec 3 最後 Jerison 只宣布了規則，並提示記法：一次只變一個。Lec 3 48:22 Lec 4 由 Haynes Miller 代課證明。

乘積規則 $$(uv)' = u'v + uv'$$

微分一個乘積，得到的是一個和：$u$ 變、$v$ 不變的部分，加上 $v$ 變、$u$ 不變的部分。例如 3:13

$$\frac{d}{dx}\bigl(x^n\sin x\bigr) = nx^{n-1}\sin x + x^n\cos x$$

圖解：長方形變大多少

2006 講義用一個長方形說明：寬 $u$、高 $v$，面積 $uv$。$x$ 走一步，寬多了 $\Delta u$、高多了 $\Delta v$。新增的面積分成三塊：

右邊一條：$v\,\Delta u$（只有 $u$ 變）
上面一條：$u\,\Delta v$（只有 $v$ 變）
右上角一小塊：$\Delta u\,\Delta v$

除以 $\Delta x$：前兩塊變成 $v\frac{\Delta u}{\Delta x} + u\frac{\Delta v}{\Delta x}\to vu' + uv'$；角落那塊是 $\frac{\Delta u}{\Delta x}\cdot\Delta v\to u'\cdot0 = 0$。角落就是第 01 頁說的垃圾項。

Demo 3 · 乘積規則的長方形

怎麼看：這裡 $u = x$、$v = x^2$，所以 $uv = x^3$，答案應該是 $3x^2$。把 $\Delta x$ 拉小：右邊和上面兩條（黃、紅）的面積大約和 $\Delta x$ 成正比，右上角的白色小塊縮得快得多。讀數裡「角落 ÷ Δx」趨近 0，「兩條 ÷ Δx」趨近 $3x^2$。

x =

Δx =

原本 uvv Δu（右）u Δv（上）Δu Δv（角落）

代數證明

Miller 的做法：在分子裡減一項再加回同一項，讓 $\Delta u$ 和 $\Delta v$ 各自出現。4:20

$$\begin{aligned}\Delta(uv) &= u(x+\Delta x)\,v(x+\Delta x) - u(x)\,v(x)\\ &= \bigl[u(x+\Delta x) - u(x)\bigr]v(x+\Delta x) + u(x)\bigl[v(x+\Delta x) - v(x)\bigr]\\ &= \Delta u\cdot v(x+\Delta x) + u(x)\cdot\Delta v\end{aligned}$$

（展開第二行，中間的 $u(x)v(x+\Delta x)$ 一正一負抵消，就回到第一行。）除以 $\Delta x$：

$$\frac{\Delta(uv)}{\Delta x} = \frac{\Delta u}{\Delta x}\,v(x+\Delta x) + u(x)\,\frac{\Delta v}{\Delta x}\ \xrightarrow{\Delta x\to0}\ u'v + uv'$$

最後一步要 $v(x+\Delta x)\to v(x)$，也就是 $v$ 連續。Miller 特別點出這裡用了連續性。9:05 $v$ 可微，所以由第 01 頁 §14「可微就連續」，它連續。這就是 Jerison 說那個定理下一次要用到的地方。

轉錄的字幕在 5:27 那段寫著「That's the change in x [Correction: change in u]」：Miller 口誤說成 $x$ 的改變量，應該是 $u$ 的改變量。2006 講義用的是另一種加減項（加減 $u(x+\Delta x)v(x)$），結果一樣。

一句話帶走：$(uv)' = u'v + uv'$：一次只讓一個變；兩個一起變的角落是 $\Delta u\Delta v$，比 $\Delta x$ 小一階，極限時消失。

09商規則與負次方 11:47

商規則（v ≠ 0） $$\left(\frac uv\right)' = \frac{u'v - uv'}{v^2}$$

Miller 說這大概是整門課裡最奇怪的公式。證明：把新值寫成 $\frac{u+\Delta u}{v+\Delta v}$，減掉 $\frac uv$，通分：12:55

$$\frac{u+\Delta u}{v+\Delta v} - \frac uv = \frac{(u+\Delta u)v - u(v+\Delta v)}{(v+\Delta v)\,v} = \frac{\Delta u\cdot v - u\cdot\Delta v}{(v+\Delta v)\,v}$$

（$uv$ 一正一負抵消。）除以 $\Delta x$，取極限：分子變成 $u'v - uv'$；分母裡的 $\Delta v\to0$，又是因為 $v$ 連續，剩下 $v^2$。16:04

例子：$1/v$ 和負次方

令 $u = 1$：$u' = 0$，所以 $\left(\frac1v\right)' = -\frac{v'}{v^2}$。16:35 再令 $v = x^n$：18:12

$$\frac{d}{dx}x^{-n} = \frac{d}{dx}\frac1{x^n} = -\frac{nx^{n-1}}{x^{2n}} = -nx^{-n-1}$$

把 $-n$ 看成一個整體 $m$，這就是 $mx^{m-1}$：冪次規則對負整數也成立。21:19 $n = 1$ 時就是第 01 頁的 $(1/x)' = -1/x^2$。

一句話帶走：$\left(\frac uv\right)' = \frac{u'v - uv'}{v^2}$；特例 $\left(\frac1v\right)' = -\frac{v'}{v^2}$ 讓冪次規則推廣到負整數。

小練習：記不住商規則的順序（分子是 $u'v - uv'$ 還是 $uv' - u'v$）？用一個簡單的例子檢查。

取 $\frac x1$：導數應該是 1。$u = x, v = 1$：$u'v - uv' = 1\cdot1 - x\cdot0 = 1$，對；另一個順序會得到 $-1$。也可以像 18.01SC session 11 的例題，把 $\frac uv$ 寫成 $u\cdot v^{-1}$，用乘積規則和 chain rule 推出來（自我測驗第 4 題）。

10Chain rule：合成函數 22:22

$y = (\sin t)^{10}$ 怎麼微分？它是兩步：先算 $x = \sin t$，再算 $y = x^{10}$。Miller 的建議：替中間的量取個新名字。23:33 習慣上 $(\sin t)^{10}$ 寫成 $\sin^{10}t$，意思是先取 $\sin$ 再 10 次方，不是 $\sin(t^{10})$。

推導

$t$ 改變 $\Delta t$，$x$ 跟著改變 $\Delta x$，$y$ 再跟著改變 $\Delta y$。代數上 $\Delta x$ 可以消掉：24:34

$$\frac{\Delta y}{\Delta t} = \frac{\Delta y}{\Delta x}\cdot\frac{\Delta x}{\Delta t}$$

$\Delta t\to0$ 時 $\Delta x\to0$（$x$ 連續），兩邊都變成導數：

Chain rule $$\frac{dy}{dt} = \frac{dy}{dx}\cdot\frac{dx}{dt},\qquad\text{或寫成}\quad\frac{d}{dt}f(g(t)) = f'(g(t))\,g'(t)$$

Leibniz 的記號讓它看起來像「$dx$ 約掉」，Miller 說這樣記並不離譜。25:42 意思是：合成函數的導數是兩個導數的乘積。用第 01 頁「放大倍數」的說法：$t$ 的小變化先被 $g$ 放大 $g'$ 倍，再被 $f$ 放大 $f'$ 倍，總共放大 $f'g'$ 倍。

背景補充：證明裡藏著的小漏洞（課堂沒有講）

上面的推導除以了 $\Delta x$。如果某些 $\Delta t$ 讓 $\Delta x$ 剛好等於 0（例如 $g$ 在那附近是常數，或像 $t^2\sin\frac1t$ 那樣在 0 附近反覆穿過同一個值），這一步就不合法。嚴謹的證明會繞開這個問題，結論不變。這門課的 2006 講義和影片都用這個簡化版本。

手算

$\frac{d}{dt}\sin^{10}t$：外層 $x^{10}$ 的導數 $10x^9$，內層 $\sin t$ 的導數 $\cos t$，再把 $x = \sin t$ 代回：$10\sin^9t\cos t$。26:59
$\frac{d}{dt}\sin10t$：外層 $\sin x$ 的導數 $\cos x$，內層 $10t$ 的導數 10：$10\cos10t$。熟練之後不用寫出中間變數，心裡記得「外層微分、裡面照抄，再乘內層的導數」。31:47
$\frac{d}{dt}\sin(t^2) = 2t\cos(t^2)$；$\frac{d}{dx}\cos\frac1x = -\sin\frac1x\cdot\left(-\frac1{x^2}\right) = \frac{\sin(1/x)}{x^2}$（2006 講義的兩個例子）。

數字檢查：$t = 0.5$ 時 $\frac{d}{dt}\sin10t = 10\cos5\approx2.837$。差商 $\frac{\sin(10(0.5+\Delta t))-\sin5}{\Delta t}$：$\Delta t = 0.001$ 得 2.884，$\Delta t = 0.0001$ 得 2.841，越來越接近。注意 $t$ 只走 0.001，$x = 10t$ 卻走了 0.01：內層先放大了 10 倍。

Miller 對名字的解釋：chain rule 能讓你「掙脫微分的鎖鏈」（burst the chains），微分多得多的函數。29:02

Demo 4 · 放大倍數相乘

怎麼看：三條數線由上到下是 $t$、$x = g(t)$、$y = f(x)$，用同一個比例尺。最上面的橙色小段是 $[t, t+\Delta t]$，往下依序被 $g$、$f$ 映到 $x$、$y$ 的小段。每一段長度相對上一段被放大（或縮小）的倍數就是那一層的差商；讀數裡兩層倍數的乘積永遠等於總倍數。把 $\Delta t$ 拉小，三個倍數趨近 $g'(t)$、$f'(x)$ 和 $f'(x)g'(t)$。

合成函數

t =

Δt =

一句話帶走：合成函數的導數 = 外層的導數（在內層的值）× 內層的導數；放大倍數一層一層相乘。

小練習：$\frac{d}{dx}(x^2+1)^{3}$ 和 $\frac{d}{dx}\cos^2x$。

$3(x^2+1)^2\cdot2x = 6x(x^2+1)^2$。$\cos^2x = (\cos x)^2$：$2\cos x\cdot(-\sin x) = -2\sin x\cos x$。

11高階導數 32:50

導數 $u'$ 本身是一個函數，可以再微分，得到二階導數 $u''$，再微分得到三階 $u'''$，以此類推。

手算

$u = \sin x$：$u' = \cos x$，$u'' = -\sin x$，$u''' = -\cos x$，$u^{(4)} = \sin x$。微分四次回到原來的函數。35:41 學生問是不是每個函數都這樣，Miller 說不是，這是 $\sin$、$\cos$ 非常特別的性質。41:34

記號

一階	二階	三階	n 階
$u'$、$Du$、$\frac{du}{dx}$	$u''$、$D^2u$、$\frac{d^2u}{dx^2}$	$u'''$、$D^3u$、$\frac{d^3u}{dx^3}$	$u^{(n)}$、$D^nu$、$\frac{d^nu}{dx^n}$

$D = \frac{d}{dx}$ 是一個算子：吃進一個函數、吐出它的導數。$\frac{d^2u}{dx^2}$ 是 $\left(\frac{d}{dx}\right)^2u$ 的縮寫；分母是 $(dx)^2$，不是 $d(x^2)$。Miller 說這是「記號的濫用」，但非常普遍。40:03

例子：$D^nx^n = n!$

42:06 每微分一次，次方掉一個下來當係數、次方減 1：

$$Dx^n = nx^{n-1},\quad D^2x^n = n(n-1)x^{n-2},\quad\ldots,\quad D^nx^n = n(n-1)\cdots2\cdot1 = n!$$

結果是常數 $n!$（$n$ 階乘），所以 $D^{n+1}x^n = 0$。45:47 2006 講義用數學歸納法寫成正式證明：假設 $D^nx^n = n!$，則 $D^{n+1}x^{n+1} = D^n\bigl((n+1)x^n\bigr) = (n+1)\,n! = (n+1)!$。

一句話帶走：高階導數就是一直微分下去；$\sin$ 每四次循環一次，$x^n$ 微分 $n$ 次剩 $n!$、再微分就是 0。

在 DGM 哪裡用到：二階導數描述曲線彎曲的程度（曲率），多變數版本是 Hessian，見補充課 A §07。$u'' = -u$ 是彈簧振動的微分方程，$\sin$、$\cos$ 是它的解；線性 ODE 的解法見補充課 B。

12在 deep generative models 哪裡用到

這一頁	在 DGM 的樣子
Chain rule	神經網路是一層一層的合成函數 $f_L(\cdots f_2(f_1(x)))$。backpropagation 就是把 chain rule 從最後一層往前套：每一層算自己的局部導數，再一路相乘。多變數時每層的導數是一個矩陣（Jacobian），相乘變成矩陣乘法，見補充課 A §05
放大倍數相乘	很多層相乘時，倍數會指數地變大或變小。例如 20 層、每層斜率 0.5，總倍數是 $0.5^{20}\approx10^{-6}$：梯度幾乎傳不回前面（vanishing gradient）；每層 1.5 則是 $1.5^{20}\approx3300$（exploding）
乘積規則	likelihood 是很多個機率相乘，直接微分會變成一長串和；第 03 頁會看到取 log 把乘積變成和，微分就簡單多了
$\sin(\omega t)$ 的導數 $\omega\cos(\omega t)$	diffusion model 常把時間 $t$ 編碼成一組不同頻率的 $\sin$、$\cos$。chain rule 告訴我們頻率 $\omega$ 越高，這個特徵隨 $t$ 變化越快
二階導數	曲率、Hessian；Newton 法（第 05 頁）和 Laplace 近似都用到

常見誤解

誤解：「$(\sin x)' = \cos x$ 不管角度單位都成立」。只在弧度成立。用度的話多一個 $\frac{\pi}{180}$（第 6 節）。

誤解：「$(uv)' = u'v'$」。乘積的導數是和：$u'v + uv'$。檢查：$x\cdot x = x^2$ 的導數是 $2x$，但 $u'v' = 1\cdot1 = 1$。

誤解：「$\sin^{10}t$ 就是 $\sin(t^{10})$」。$\sin^{10}t$ 是 $(\sin t)^{10}$。兩者的導數完全不同：$10\sin^9t\cos t$ 對 $10t^9\cos(t^{10})$。

誤解：「chain rule 只要微分外層」。常見的錯誤是寫成 $(\sin10t)' = \cos10t$，漏了內層的導數 10。

誤解：「$f(g(x))$ 和 $g(f(x))$ 一樣」。合成沒有交換律：$f = \sin$、$g = x^2$ 時，一個是 $\sin(x^2)$，另一個是 $\sin^2x$（2006 講義 Lecture 4 的例子）。

誤解：「$\frac{d^2u}{dx^2}$ 的分母是 $d(x^2)$」。分母是 $(dx)^2$；整個符號只是「對 $x$ 微分兩次」的縮寫（第 11 節）。

自我測驗

1. 微分 $x^3\sin x$、$\frac{\sin x}{x}$、$\sin^2(3x)$。

$3x^2\sin x + x^3\cos x$。$\frac{x\cos x - \sin x}{x^2}$。$2\sin3x\cdot\cos3x\cdot3 = 6\sin3x\cos3x$。

2. （18.01SC 例題）用商規則微分 $\frac{x^2}{x+1}$ 和 $\frac{x^4+1}{x^2}$。第二題能不能不用商規則？

$\frac{2x(x+1) - x^2}{(x+1)^2} = \frac{x^2+2x}{(x+1)^2}$。第二題：$\frac{4x^3\cdot x^2 - (x^4+1)\cdot2x}{x^4} = \frac{2x^5 - 2x}{x^4} = 2x - \frac{2}{x^3}$。也可以先化簡成 $x^2 + x^{-2}$，直接得 $2x - 2x^{-3}$，一樣。

3. （18.01SC 例題）找 $a, b$ 使 $f(x) = ax^2 + bx + 6$（$x \le 1$）、$2x^5 + 3x^4 + 4x^2 + 5x + 6$（$x > 1$）處處可微。

要可微，先要連續：在 $x = 1$，左邊 $a + b + 6$ 要等於右邊 $2 + 3 + 4 + 5 + 6 = 20$，所以 $a + b = 14$。再要斜率相同：左邊 $2a + b$，右邊 $10 + 12 + 8 + 5 = 35$。解得 $a = 21$、$b = -7$。（同一題接點改在 $x = 0$ 時，值自動相等，只要 $b = 5$，$a$ 任意。）

4. （18.01SC 例題）把 $\frac uv$ 寫成 $u\cdot v^{-1}$，只用乘積規則和 chain rule 推出商規則。

$(u v^{-1})' = u'v^{-1} + u\cdot(-1)v^{-2}v' = \frac{u'}{v} - \frac{uv'}{v^2} = \frac{u'v - uv'}{v^2}$。所以商規則不用另外背，只要會乘積規則和 chain rule。

5. （18.01SC 例題）哪些函數滿足 $f'' = -f$？

$\sin x$、$\cos x$，以及它們的任意組合 $A\sin x + B\cos x$（例如 $\sin(x + c)$）。驗算：$(A\sin x + B\cos x)'' = -A\sin x - B\cos x$。

6. （18.01SC 例題）sinc 函數 $\frac{\sin x}{x}$ 的圖長什麼樣子？

在 0 的極限是 1（第 4 節），補上 $f(0) = 1$ 後連續。它是 $\sin x$ 乘上 $\frac1x$：在 $x = \pm\pi, \pm2\pi, \ldots$ 穿過 0，振幅像 $\frac1{|x|}$ 一樣越來越小，左右對稱（兩個奇函數相乘是偶函數）。

7. $D^5x^5$ 和 $D^6x^5$ 各是多少？$D^{100}\sin x$ 呢？

$5! = 120$；0。100 是 4 的倍數，所以 $D^{100}\sin x = \sin x$。

8. 用度量角時，$\frac{d}{dd}\sin(d°)$ 在 $d = 0$ 是多少？

$\frac{\pi}{180}\cos0\approx0.01745$。也就是 Demo 1 最後一行的極限。