線性與二次近似、畫函數圖形
第二單元「導數的應用」從這裡開始。第一個應用是近似：在一點附近，曲線幾乎就是它的切線（線性近似），再精細一點是一條拋物線（二次近似）。Jerison 說這種看法「可能比到目前為止教的所有技術都重要」，因為工程上處處都在用。第二個應用是畫圖：用 \(f'\) 的正負看升降、用 \(f''\) 的正負看彎曲方向。
讀完這頁你應該能夠
- 寫出線性近似 \(f(x)\approx f(x_0) + f'(x_0)(x - x_0)\)，說明它就是切線，也就是「差商 ≈ 導數」的另一種寫法。
- 背出（或馬上推出）\(\sin x\)、\(\cos x\)、\(e^x\)、\(\ln(1+x)\)、\((1+x)^r\) 在 0 附近的線性和二次近似。
- 用代數把基本近似組合起來，並說明為什麼可以丟掉比要求更高次的項。
- 解釋二次近似裡那個 \(\frac12\) 從哪裡來，並推廣成 \(\frac{f^{(n)}(0)}{n!}\)。
- 用 \(f'\) 的正負判斷遞增遞減、用 \(f''\) 的正負判斷 concave up／down，找出 critical point 和 inflection point，畫出 \(3x - x^3\) 的圖。
前置知識檢查
1. \(\ln x\) 在 \(x = 1\) 的切線方程式是什麼？
2. \(\frac{d}{dx}(1+x)^r\) 和 \(\frac{d^2}{dx^2}(1+x)^r\) 在 \(x = 0\) 各是多少？
3. \((1 - 3x)(1 - \frac12x)\) 展開是什麼？
4. \(x = 0.01\) 時，\(x^2\) 和 \(x^3\) 各是多少？
00怎麼讀這一頁、素材對照
兩堂都是 Jerison。Lec 9 講線性近似和二次近似的開頭（第 1–7 節）；Lec 10 前 29 分鐘把二次近似講完（第 7–9 節），後 22 分鐘開始畫圖（第 11–12 節）。畫圖的系統方法和有理函數的例子在 Lec 11，放在第 05 頁。第 10 節（Taylor 多項式）是 18.01SC 的例題，錄影沒有講。
| 素材 | 對應內容 |
|---|---|
| 18.01 錄影 | Lec 9 線性近似、基本清單、GPS、二次近似；Lec 10 二次近似（續）、畫圖的開頭 |
| 18.01 講義（2006） | Lecture 9「Linear and Quadratic Approximations」、Lecture 10「Curve Sketching」（離線包 lec9.pdf、lec10.pdf） |
| 18.01SC session 23–28 | worked examples：\(\sin\) 的線性近似和計算機比較、乘積的線性近似、\(e^x\) 的二次近似、\(n\) 次近似的公式、三次函數的升降與凹凸（自我測驗用到）；解題影片 Quadratic Approximation of an Exponential Function、Quadratic Approximation of a Product、Sketching a Curve |
| Strang Highlights of Calculus | 短片 Linear Approximation/Newton's Method（後半的 Newton 法在第 05 頁） |
| Strang Calculus | 第 3 章 |
01線性近似就是切線 Lec 9 1:12
整個主題一個公式就說完，但 Jerison 說要花至少半小時解釋怎麼用：
右邊就是 \(y = f(x)\) 在 \(x_0\) 的切線方程式。意思是：曲線在切點附近幾乎就是切線。1:42
\(f(1) = \ln1 = 0\)，\(f'(1) = \frac11 = 1\)。代進去：\(\ln x\approx0 + 1\cdot(x - 1) = x - 1\)。3:20 Jerison 說 \(x_0 = 1\) 幾乎是唯一確定知道 \(\ln\) 值的地方。
檢查：\(\ln1.1 = 0.09531\)，近似給 0.1；\(\ln2 = 0.693\)，近似給 1，差很多。
關鍵限制：只在 \(x\) 靠近 \(x_0\) 時成立。離切點遠了，直線和曲線就分開了，曲線愛去哪就去哪。4:55 至於「多近才算近」，Jerison 說一部分要靠直覺，實際問題裡大家非常在乎這件事。11:26 第 8 節會給一個定量的說法。
02另一種讀法：差商 ≈ 導數 5:25
導數的定義是 \(\lim_{\Delta x\to0}\frac{\Delta f}{\Delta x}\)。第一單元我們把它倒過來讀，用已知的導數算極限。現在第三種讀法：\(\Delta x\) 很小但不是 0 的時候，差商已經很接近極限值了：6:26
$$\frac{\Delta f}{\Delta x}\approx f'(x_0)$$左邊是平均變化率，右邊是瞬間變化率，兩者差不多。兩邊乘上 \(\Delta x\)、把 \(\Delta f = f(x) - f(x_0)\)、\(\Delta x = x - x_0\) 寫開，再把 \(f(x_0)\) 移到右邊，就是第 1 節的公式。7:34 兩種寫法在代數上完全相同。
03基本清單（在 0 附近） 9:18
為了讓公式最簡單，標準清單一律取 \(x_0 = 0\)：
$$f(x)\approx f(0) + f'(0)\,x\qquad(x\approx0)$$做法是列一張表：每個函數算 \(f'\)，再算 \(f(0)\)、\(f'(0)\)，兩個數字就是近似式的兩個係數。11:56
| f(x) | f′(x) | f(0) | f′(0) | 線性近似（x ≈ 0） |
|---|---|---|---|---|
| \(\sin x\) | \(\cos x\) | 0 | 1 | \(\sin x\approx x\) |
| \(\cos x\) | \(-\sin x\) | 1 | 0 | \(\cos x\approx1\) |
| \(e^x\) | \(e^x\) | 1 | 1 | \(e^x\approx1 + x\) |
| \(\ln(1+x)\) | \(\frac1{1+x}\) | 0 | 1 | \(\ln(1+x)\approx x\) |
| \((1+x)^r\) | \(r(1+x)^{r-1}\) | 1 | \(r\) | \((1+x)^r\approx1 + rx\) |
圖上的樣子：\(y = x\) 在原點貼著 \(\sin x\)；\(\cos x\) 在 0 是山頂，切線水平，所以近似是常數 1；\(e^x\) 的切線是 \(y = 1 + x\)。14:36
為什麼寫成 ln(1 + x) 而不是 ln x
\(\ln x\) 在 0 跑到 \(-\infty\)，\(x^r\) 在 0 的斜率可能是無窮大，0 是壞的基點。1 是好的基點，再平移一下讓它「看起來像 0」。19:02 第 1 節的 \(\ln u\approx u - 1\) 換成 \(u = 1 + x\)，就是 \(\ln(1+x)\approx x\)：同一個計算，只是換了變數。19:33
04難的換成簡單的 20:38
學生問：線性近似平常用來做什麼？Jerison 的第一個回答是 \(\ln1.1\approx\frac1{10}\)（用 \(\ln(1+x)\approx x\)、\(x = \frac1{10}\)）。21:10
他接著問：左邊和右邊哪個比較複雜？左邊要按計算機，右邊是十分之一，誰都知道。22:12 清單裡每一行都一樣：左邊是難的函數，右邊是簡單的函數。\(\sin x\approx x\) 看起來右邊比較「醜」嗎？不，\(x\) 才是簡單的那個。線性近似的主要好處就是把難的東西換成簡單的東西；只要近似合理，問題就能往前推。22:43
05用代數組合近似 24:18
求 \(\dfrac{e^{-3x}}{\sqrt{1+x}}\) 在 \(x\approx0\) 的線性近似。Jerison 說：不做微積分，只用已經推出的清單，加上代數。25:21
- 寫成乘積：\(e^{-3x}(1+x)^{-1/2}\)，就看得出要用 \(r = -\frac12\)。
- 各自近似：\(e^{-3x}\approx1 - 3x\)（\(e^u\approx1 + u\)，\(u = -3x\)），\((1+x)^{-1/2}\approx1 - \frac12x\)。
- 相乘，丟掉 \(x^2\) 項：
為什麼 \(\frac32x^2\) 要丟？因為從 \(e^{-3x}\) 換成 \(1 - 3x\) 的那一步，已經丟掉了一堆二次以上的項。\(\frac32x^2\) 不是唯一的二次項，只留它一個沒有意義；要丟就全部丟，只留下真正算對的線性部分。27:57 Jerison 說這種算術比一般代數還簡單：那一項連算都不用算。
學生問：直接算 \(f(0)\)、\(f'(0)\) 可以嗎？可以，\(f(0) = 1\)，\(f'(0)\) 也一定是 \(-\frac72\)，但用乘積規則微分很煩；到了二階導數，代數的方法遠比微分兩次好用。36:37 另一個學生問：微分的方法要不要丟 \(x^2\)？不用：二次項微分後還帶著 \(x\)，代 \(x = 0\) 自己就消失了。高次項從來不影響線性的部分。37:38
\(x = 0.1\)：真值 0.70634，線性近似 0.65，差 0.056；\(x = 0.01\)：真值 0.965629，近似 0.965，差 0.00063。\(x\) 縮小 10 倍，誤差縮小約 90 倍（差不多 100 倍），正是「誤差像 \(x^2\)」。
2006 講義 Lecture 9 的同一個例子用 \(e^{-2x}\)，答案 \(1 - \frac52x\)；錄影用 \(e^{-3x}\)。本頁以錄影為準。
06真實的例子：GPS 29:30
GPS 衛星以速度 \(v\) 飛過，衛星上的鐘走了 \(T\)，地面上的錶走了 \(T'\)。狹義相對論的時間膨脹公式是 30:37
$$T' = \frac{T}{\sqrt{1 - v^2/c^2}} = T\,(1 - u)^{-1/2},\qquad u = \frac{v^2}{c^2}$$用 \((1+x)^r\approx1 + rx\)（\(x = -u\)、\(r = -\frac12\)）：
$$T'\approx T\left(1 + \frac12\frac{v^2}{c^2}\right)$$Jerison 強調：近似的對象不一定是 \(x\) 本身，可以是任何物理量，這裡是 \(\frac{v^2}{c^2}\)。31:43 GPS 衛星大約 4 km/s，光速 \(3\times10^5\) km/s，所以 \(\frac{v^2}{c^2}\approx10^{-10}\)。33:25 他說工程師真的用了這個計算：衛星發送的無線電頻率照這個規則刻意偏移。二次項是 \(u^2\sim10^{-20}\)，完全可以忽略。34:26
Lec 10 的補充：重點是比例 Lec 10 1:34
改寫成相對變化：\(\frac{\Delta T}{T}\approx\frac12\frac{v^2}{c^2}\)。兩邊都沒有單位（時間除以時間、速度平方除以速度平方），重點是成正比，比例常數是 \(\frac12\)。2:34 Jerison 說為什麼不直接數值計算：工程上一個系統有幾十個這樣的因素（相對速度隨視角變、地球自轉、廣義相對論的重力效應），不把每一個都化簡成「輸入變一點、輸出按比例變」，根本沒辦法思考整個系統。天氣預報、經濟預測、小行星會不會撞地球都是這樣。4:40
背景補充：「誤差大概一毫米」是怎麼算的
Jerison 說這個差異換成定位誤差「大概一毫米」。33:55 用他的數字自己算：\(\frac12\frac{v^2}{c^2} = 8.9\times10^{-11}\)。訊號從約 20,200 km 高的衛星傳下來要 0.067 秒，這段時間裡兩邊的鐘只差 \(6\times10^{-12}\) 秒，乘上光速約 1.8 mm，和他說的一致。
但鐘的偏差會累積：一天 86,400 秒，累積 \(8.9\times10^{-11}\times86400\approx7.7\) 微秒，乘上光速約 2.3 km。所以衛星的頻率真的要預先校正，這也是他說工程師「刻意偏移頻率」的原因。（實際的 GPS 還有廣義相對論的效應，方向相反、更大；這裡不展開。）
07二次近似 Lec 9 38:44
線性不夠準的時候，多加一項：
例如 \(\ln1.1\approx\frac1{10} - \frac12\left(\frac1{10}\right)^2 = 0.095\)，真值 0.09531：修正落在小數點後更遠的位數。40:55
那個 1/2 從哪裡來 Lec 10 9:48
如果 \(f\) 本身就是拋物線，它最好的二次近似當然是它自己，公式必須剛好成立。取 \(f(x) = a + bx + cx^2\)：
$$f(0) = a,\qquad f'(0) = b,\qquad f''(0) = 2c\ \Longrightarrow\ c = \frac{f''(0)}{2}$$二次微分會多跑出一個 2，所以要除回去。「沒有其他公式可能成立，而這個成立。」11:21
清單加上二次項 11:53
| f(x) | f″(0) | 二次近似（x ≈ 0） |
|---|---|---|
| \(\sin x\) | 0 | \(x\)（沒有 \(x^2\) 項） |
| \(\cos x\) | −1 | \(1 - \frac12x^2\) |
| \(e^x\) | 1 | \(1 + x + \frac12x^2\) |
| \(\ln(1+x)\) | −1 | \(x - \frac12x^2\) |
| \((1+x)^r\) | \(r(r-1)\) | \(1 + rx + \frac{r(r-1)}{2}x^2\) |
\(\sin\) 的二階導數在 0 是 0，所以線性近似 \(x\) 同時也是二次近似：這就是 \(\sin x\approx x\) 特別準的原因。Lec 9 43:11
幾何意義：\(\cos x\) 在 0 的切線是水平線 \(y = 1\)，它連函數在 0 附近比 1 大還是小都看不出來。二次近似 \(1 - \frac12x^2\) 是一條往下開的拋物線，貼合得好得多，是「最佳擬合的拋物線」。45:29
Demo 1 · 切線和最佳拋物線
08誤差的階：為什麼可以丟掉高次項 Lec 10 24:38
學生問：為什麼可以丟掉高次項？Jerison 的回答：想像 \(x = \frac1{100}\)。二次項是 \(10^{-4}\) 的量級，三次、四次項是 \(10^{-6}\) 以下。他沒有宣稱答案是精確的；保留到小數點後 4 位，丟掉的是第 6 位的東西。25:10
| x | sin x（真值） | 近似 x | eˣ（真值） | 1 + x + x²/2 |
|---|---|---|---|---|
| 0.01 | 0.0099998333 | 0.01 | 1.0100501671 | 1.01005 |
| 0.1 | 0.0998334166 | 0.1 | 1.1051709181 | 1.105 |
| 1 | 0.8414709848 | 1 | 2.7182818285 | 2.5 |
\(x = 0.01\) 時兩個近似都準到 \(10^{-7}\) 左右；\(x = 1\) 時 \(\sin\) 差 0.16、\(e\) 差 0.22。近似只在基點附近可靠。
寫成式子：線性近似的誤差和 \((x - x_0)^2\) 同階，二次近似的誤差和 \((x - x_0)^3\) 同階（假設函數夠平滑）。Demo 1 的下圖就是在畫這件事。精確的誤差估計（Taylor 定理的餘項）18.01SC 說「課程很後面才會講」，在第 14 頁。
09用二次近似看收斂速度 Lec 10 15:05
回到第 03 頁的 \(a_k = (1 + \frac1k)^k\to e\)。有了線性近似，那個證明只剩一行：15:35
$$\ln a_k = k\ln\left(1 + \frac1k\right)\approx k\cdot\frac1k = 1$$（用 \(\ln(1+x)\approx x\)、\(x = \frac1k\)，\(k\) 越大越準。）要知道收斂得多快，就需要下一項：17:10
$$\ln a_k\approx k\left(\frac1k - \frac1{2k^2}\right) = 1 - \frac1{2k}\quad\Longrightarrow\quad a_k\approx e^{1 - \frac1{2k}}\approx e\left(1 - \frac1{2k}\right)$$Jerison 說這正是作業題；上面的推導是我們自己補的。它解釋了第 03 頁 Demo 4 看到的現象：\(e - a_k\approx\frac{e}{2k}\)，\(k\) 多 10 倍、誤差少 10 倍。數字：\(k = 100\) 時 \(\ln a_k - 1 = -0.004967\)，\(-\frac1{2k} = -0.005\)。
二次近似的乘法 20:17
同一個函數 \(e^{-3x}(1+x)^{-1/2}\)，這次要二次近似。各因子展到二次：
$$\left(1 - 3x + \tfrac92x^2\right)\left(1 - \tfrac12x + \tfrac38x^2\right)$$（\(\frac{(-3x)^2}{2} = \frac92x^2\)；\(\frac{r(r-1)}{2} = \frac{(-\frac12)(-\frac32)}{2} = \frac38\)。）Jerison 說二次近似「又亂又長，沒什麼好處」，唯一的好處是：高次項全部可以丟，所以這個乘法他心算就行。21:59 二次項有三個來源：兩個線性項相乘 \(\frac32\)、\(\frac92\) 乘 1、\(\frac38\) 乘 1：
$$\approx1 - \frac72x + \left(\frac32 + \frac92 + \frac38\right)x^2 = 1 - \frac72x + \frac{51}{8}x^2$$他說答案就是這麼怪（\(\frac{51}{8}\)），這類問題的算術避不掉。25:43 檢查：\(x = 0.1\) 時真值 0.70634，二次近似 0.71375（誤差 0.0074，比線性的 0.056 小很多）；用數值微分算 \(\frac{f''(0)}{2}\) 也是 6.375。
什麼時候用二次：學生問考試會不會指定。Jerison 說現在會，但現實中沒人會告訴你要用哪一個，連線性近似適不適用都不會說。永遠先試線性，有人逼你才用二次。19:47 他也提到經濟學的模型大多是 log-quadratic，再複雜就沒人用了。8:16
10再往上：Taylor 多項式
錄影沒有講，這是 18.01SC session 26 的例題。同樣的想法推到 \(n\) 次：找多項式 \(A(x) = a_0 + a_1x + \cdots + a_nx^n\)，讓它在 0 的值和前 \(n\) 階導數都和 \(f\) 一樣。關鍵是第 02 頁的 \(D^nx^n = n!\)，而且比 \(n\) 低次的項微分 \(n\) 次都變成 0：
$$A^{(n)}(0) = n!\,a_n = f^{(n)}(0)\quad\Longrightarrow\quad a_n = \frac{f^{(n)}(0)}{n!}$$ $$f(x)\approx f(0) + f'(0)x + \frac{f''(0)}{2!}x^2 + \frac{f'''(0)}{3!}x^3 + \cdots + \frac{f^{(n)}(0)}{n!}x^n$$二次近似的 \(\frac12\) 就是 \(\frac1{2!}\)。次數往上加時，低次的係數不變，只是一直加新的項。這就是 Taylor 多項式，第 14 頁的冪級數會讓 \(n\to\infty\)。
11畫圖：f′ 和 f″ 告訴你什麼 Lec 10 29:29
目標：用 \(f'\) 和 \(f''\) 的正負畫出 \(f\) 的圖。2006 講義補一句：要的是定性正確，不必按比例。31:00
| 條件 | 結論 | 圖上 |
|---|---|---|
| \(f' > 0\) | \(f\) 遞增 | 往右上走 |
| \(f' < 0\) | \(f\) 遞減 | 往右下走 |
| \(f'' > 0\) | \(f'\) 遞增：concave up（凹口向上，也叫 convex） | 像碗 ∪ |
| \(f'' < 0\) | \(f'\) 遞減：concave down | 像帽子 ∩ |
第一條和線性近似是同一件事：切線往上，函數在附近也往上。33:17 第三條是同一個原則往上一階：\(f''\) 是 \(f'\) 的導數。Jerison 故意畫了一條往下走的 concave up 曲線：斜率從 −4 變成 −3，越來越不負，「遞增的是斜率，不是函數」。34:49
名詞
- critical point：\(f'(x_0) = 0\) 的點 \(x_0\)；\(y_0 = f(x_0)\) 叫 critical value。Jerison 說這是這個主題最重要的定義。不叫「轉折點」，因為函數不一定在那裡掉頭（2006 講義的例子 \(x^3 - 3x^2 + 3x\) 在 \(x = 1\) 的斜率是 0，但兩邊都遞增）。40:21
- inflection point：\(f'' = 0\)、凹凸方向改變的點。51:00
學生問：尖角（例如 \(|x|\) 在 0）算不算 critical point？Jerison 說在微積分裡那不叫 critical point，是另一種也很重要的點，之後會講。43:37
12例子：3x − x³ 36:34
- \(f'\) 的正負：\(f' = 3 - 3x^2 = 3(1-x)(1+x)\)。\(-1 < x < 1\) 時兩個因子都正，遞增；\(x > 1\) 時 \(1 - x < 0\)，遞減；\(x < -1\) 時 \(1 + x < 0\)，也遞減。所以是「降、升、降」。37:37
- critical points 和 values：\(x = \pm1\)，\(f(1) = 2\)、\(f(-1) = -2\)，點出 \((1, 2)\) 和 \((-1, -2)\)。42:02 學生問怎麼知道 \(-1\) 是谷底、1 是山頂：Jerison 說他還沒用二階導數，用的是第 1 步「左邊降、右邊升」。44:08
- 常識：\(f(0) = 0\)；全是奇次方，所以是奇函數，左右對稱（繞原點轉 180°）。45:39
- 兩端：\(x\to+\infty\) 時 \(-x^3\) 主導，\(f\to-\infty\)；\(x\to-\infty\) 時 \(f\to+\infty\)。Jerison 說這是大家最常忽略的部分，也是繪圖計算機唯一做不到的：螢幕外面發生什麼事，要靠你自己知道。47:11
- 裝飾：\(f''\)：\(f'' = -6x\)，\(x < 0\) 時 concave up、\(x > 0\) 時 concave down，原點是 inflection point。到這一步圖其實已經定了，二階導數只是「裝飾」。49:15
2006 講義把步驟整理成 rubric：①（微積分以前的技能）先找不連續點，特別是無窮大的；② 找 critical points；③ 點出 critical values、判斷中間 \(f'\) 的正負；④ 找零點（容易的話）；⑤ 看兩端。零點：\(3x - x^3 = x(3 - x^2) = 0\)，\(x = 0, \pm\sqrt3\approx\pm1.732\)。
講義的另一個例子提醒為什麼不連續點要先找：\(y = \frac1x\) 的 \(y' = -\frac1{x^2} < 0\) 處處成立，但圖不是一條一路往下的曲線，它在 \(x = 0\) 從 \(-\infty\) 跳到 \(+\infty\)。
Demo 2 · 三次函數的升降與凹凸
13在 deep generative models 哪裡用到
| 這一頁 | 在 DGM 的樣子 |
|---|---|
| 線性近似 \(\Delta f\approx f'\Delta x\) | gradient descent 的出發點：參數走一小步 \(\Delta\theta\)，loss 大約改變 \(\nabla L\cdot\Delta\theta\)，所以往 \(-\nabla L\) 走最快變小；步子太大時線性近似失效，loss 反而上升（learning rate 太大） |
| \((1+x)^r\approx1 + rx\) | DDPM 每一步 \(x_t = \sqrt{1-\beta_t}\,x_{t-1} + \sqrt{\beta_t}\,\varepsilon\)。\(\beta_t\) 很小時 \(\sqrt{1-\beta_t}\approx1 - \frac12\beta_t\)（例如 \(\beta = 0.02\)：0.98995 對 0.99），每步把 \(x\) 拉回 \(-\frac12\beta_tx\)，這就是 VP SDE 的漂移項 \(-\frac12\beta(t)x\)，見補充課 E |
| 二次近似 | 在 log 密度的最高點（mode）做二次近似：\(\log p(x)\approx\log p(x_0) + \frac12f''(x_0)(x-x_0)^2\)（一次項是 0）。這是一個 Gaussian 的 log，變異數是 \(-\frac1{f''(x_0)}\)：Laplace 近似。Newton 法（第 05 頁）則是對 loss 做二次近似再一步跳到拋物線的最低點 |
| \(\ln(1+x)\approx x - \frac12x^2\) | 兩個很接近的分佈之間的 KL divergence 是二次的：把 \(\log\frac{p}{q} = \ln(1+\delta)\) 展到二次，一次項的期望值是 0，剩下的就是二次項（Fisher information）。第 14 頁會再看到 |
| concave／convex | \(\ln\) 是 concave（\(f'' = -\frac1{x^2} < 0\)），這是 Jensen 不等式和 VAE 的 ELBO（\(\log\mathbb{E}\ge\mathbb{E}\log\)）的來源；convex 的 loss 只有一個谷底，好最佳化 |
常見誤解
自我測驗
1. 用線性近似估 \(\sqrt{1.1}\)、\(\cos0.5\) 用二次近似估。各差多少？
2. 求 \(\frac{1}{(1-x)^2}\) 和 \(\ln(1 - 2x)\) 在 0 附近的線性近似。
3. （18.01SC 例題）證明 \(f(x)g(x)\) 的線性近似，等於 \(f\) 和 \(g\) 的線性近似相乘後的線性部分。
4. 求 \(e^x\cos x\) 在 0 附近的二次近似。
5. （18.01SC 例題）\(\sin x\) 的三次近似是什麼？用 \(\frac{f^{(n)}(0)}{n!}\)。
6. 畫 \(y = \frac{\ln x}{x}\)（\(x > 0\)）的圖：critical point、最大值、兩端、零點。（2006 講義例 4）
7. \(x^4\) 在 0 的 \(f''\) 是 0，0 是 inflection point 嗎？
8. 為什麼 \(\ln a_k - 1\approx-\frac1{2k}\) 推得出 \(e - a_k\approx\frac{e}{2k}\)？
延伸閱讀
- 18.01 Fall 2006 講義 Lecture 9（線性、二次近似的清單與證明，\(\frac{e^{-2x}}{\sqrt{1+x}}\) 的例子）、Lecture 10（畫圖的 rubric，\(\frac1x\)、\(x^3 - 3x^2 + 3x\)、\(\frac{\ln x}{x}\) 三個例子，二階導數判別法）：離線包
lec9.pdf、lec10.pdf。 - 18.01SC session 23–28 的 worked examples（離線包
MIT18_01SCF10_ex23prb.pdf–ex26prb.pdf、ex28prb.pdf）：第 8 節的表、第 10 節、自我測驗 3、5 題，以及 Demo 2 的第三個例子。