最佳化、related rates、Newton 法
先把畫圖收尾：一套固定的步驟，以及「沒有 critical point 時不要愣住」。接著是導數最有名的應用：找最大最小。這裡的教訓是 critical point 只是候選人之一，端點和不連續點也要看，否則可能找到最差的答案。然後是 related rates（幾個一起變化的量，變化率怎麼互相牽動）和 Newton 法（用切線一步步逼近方程式的根）。
讀完這頁你應該能夠
- 照固定步驟畫圖：先不連續點和兩端，再 critical points，最後用 \(f'\) 的正負檢查；知道「沒有 critical point 就不能回頭」。
- 解最大最小的文字題：畫圖、取變數、用限制條件消去變數，比較 critical points、端點、不連續點的值。
- 區分「最小值」和「最小值發生在哪裡」，並用無因次的比例（例如盒子的寬高比 2:1）回答形狀問題。
- 用隱函數微分解 related rates：先對時間微分，再代入當下的數字。
- 寫出 Newton 法 \(x_{n+1} = x_n - \frac{f(x_n)}{f'(x_n)}\)，說明它為什麼收斂得那麼快，以及什麼時候會失敗。
前置知識檢查
1. \(\lim_{x\to-2^+}\frac{x+1}{x+2}\) 是多少？
2. 底面 \(x\times x\)、高 \(y\) 的無蓋盒子，體積和表面積是什麼？
3. 圓錐的體積公式？
4. \(f(x) = x^2 - 5\) 在 \(x = 2\) 的切線和 \(x\) 軸交在哪裡？
00怎麼讀這一頁、素材對照
三堂都是 Jerison。Lec 11 前 44 分鐘把畫圖講完（第 1–3 節），最後幾分鐘開始最大最小（第 4 節）；Lec 12 是兩個最佳化例子（第 5–6 節）和測速問題的設定；Lec 13 解完測速（第 7 節），再講圓錐水槽、繩子上的環、Newton 法（第 8–10 節）。
| 素材 | 對應內容 |
|---|---|
| 18.01 錄影 | Lec 11 畫圖的步驟、\(\frac{x+1}{x+2}\)、\(\frac{x}{\ln x}\)；Lec 12 鐵絲、盒子、測速的設定；Lec 13 測速、圓錐、繩子上的環、Newton 法 |
| 18.01 講義（2006） | Lecture 11「Max/Min Problems」、Lecture 12「Related Rates」、Lecture 13「Newton's Method and Other Applications」（離線包 lec11.pdf–lec13.pdf） |
| 18.01SC session 29–33 | worked examples：一公升的罐子、穀倉（用隱函數微分最佳化）、Newton 法在 \(x^3 = 0\)（自我測驗用到）；解題影片 Minimum Triangle Area、Sliding Ladder、Using Newton's Method |
| Strang Highlights of Calculus | 短片 Max and Min and Second Derivative、Linear Approximation/Newton's Method |
| Strang Calculus | 第 3 章 |
01沒有 critical point 的時候 Lec 11 1:05
\(f(x) = \frac{x+1}{x+2}\)，Jerison 直接給導數 \(f'(x) = \frac{1}{(x+2)^2}\)。它永遠不是 0，所以沒有 critical point。他說很多「被訓練得像猴子一樣只會照指示做」的學生這時就愣住放棄了，因為沒事可做。這是他要「訓練掉」的反應。2:08
出路是回到微積分以前的技能：描點。最重要的點是不存在的那一點 \(x = -2\)。3:11 那裡不能代值，要從兩邊逼近：
$$f(-2^+) = \frac{-1}{0^+} = -\infty,\qquad f(-2^-) = \frac{-1}{0^-} = +\infty$$記號 \(-2^+\) 是「比 \(-2\) 大一點點」。學生問分母 \(-2^+ + 2\) 為什麼是 \(0^+\)：因為 \(-2^+\) 本身比 \(-2\) 大，加 2 後比 0 大。分子不用加 \(+\)，因為它代進去就是確定的 \(-1\)。4:41
接著看兩端（\(x\to\pm\infty\)）：分子分母同除以 \(x\)，\(\frac{1 + 1/x}{1 + 2/x}\to1\)。7:49 於是有兩條漸近線 \(y = 1\)、\(x = -2\)，圖幾乎可以畫完了。
還差一個疑問：右邊那支會不會先往下掉到 1 以下再回來？學生答：不會，因為沒有 critical point。Jerison 說這是「精確正確的答案」：\(f'\) 不是 0，就沒有水平切線，函數不能回頭（can't backtrack）。10:29
\(\frac{x+1}{x+2} = 1 - \frac{1}{x+2}\)。這樣導數一眼就看出是 \(\frac{1}{(x+2)^2}\)，也看出它就是雙曲線 \(-\frac1x\) 平移過來的。12:01
二階導數 \(f'' = \frac{-2}{(x+2)^3}\)：\(x > -2\) concave down、\(x < -2\) concave up。它幾乎沒給新資訊，只排除了「扭動」（wiggle）。16:59 學生問：遞增是不是就定義成 \(f' > 0\)？Jerison 說不是。\(f' > 0\) 一定遞增，反過來不一定：\(x^3\) 在 0 的導數是 0，但仍然遞增。18:36
02畫圖的一般步驟 19:40
- 描點（微積分以前的技能）：(a) 不連續點，特別是無窮大的；(b) 兩端（\(x\to\pm\infty\)，或定義域的端點）；(c) 容易算的點（選做），例如和座標軸的交點。
- 解 \(f'(x) = 0\)，點出 critical points 和 critical values。
- 判斷每一段（被 critical points 和不連續點隔開）\(f'\) 的正負。這一步必須和 1、2 一致；如果 1、2 做得好，它只是驗算。22:31
- \(f''\) 的正負：凹凸和 inflection points。
- 全部合起來。
Jerison 說他最挫折的是看學生先做第 3 步、算錯、然後圖怎麼畫都對不起來。先做 1、2，你在第 3 步就會發現自己哪裡算錯。23:02 至於第 4 步：二階導數通常很難算，沒人要求就別做。25:31
03例子：x / ln x 24:58
定義域 \(x > 0\)（\(\ln\) 只對正數有定義），而且 \(x \ne 1\)。
- 不連續點：\(\ln1 = 0\)，所以 \(x = 1\) 是垂直漸近線：\(f(1^+) = \frac{1}{0^+} = +\infty\)，\(f(1^-) = -\infty\)。27:02
- 兩端：\(f(0^+) = \frac{0^+}{-\infty} = 0\)。\(x\to\infty\)：Jerison 代 \(x = 10^{10}\)，\(\frac{10^{10}}{\ln10^{10}}\) 非常大，所以 \(f(\infty) = \infty\)。28:42
- critical point：\(f' = \frac{\ln x - 1}{(\ln x)^2}\)，在 \(x = e\) 是 0，critical value \(f(e) = e\)。32:27 只有這一個，所以和前一個例子一樣，函數在其他地方不能回頭：從 \((0, 0)\) 往下掉到 \(-\infty\)；在 1 的右邊從 \(+\infty\) 下來，在 \((e, e)\) 轉頭，再上去。33:29
- 驗算：\(0 < x < 1\) 和 \(1 < x < e\) 時 \(\ln x - 1 < 0\)，遞減；\(x > e\) 時遞增。和圖一致。
- 裝飾：改寫 \(f' = \frac{1}{\ln x} - \frac{1}{(\ln x)^2}\)，看出漏掉的一點：\(x\to0^+\) 時 \(\ln x\to-\infty\)，\(f'\to0\)，所以圖從原點水平地出發。38:38 \(f'' = \frac{2 - \ln x}{x(\ln x)^3}\)，在 \(x = e^2\) 變號：inflection point \((e^2, \frac{e^2}{2})\approx(7.39, 3.69)\)。圖在轉頭之後不久其實又彎回 concave down，「山的斜坡」。43:26
2006 講義 Lecture 10–11 用的是倒數 \(\frac{\ln x}{x}\)（第 04 頁自我測驗 6）；錄影用 \(\frac{x}{\ln x}\)。
04最大最小：不只看 critical points 44:48
如果圖已經畫好，最大最小一眼就看到。問題是畫圖很花時間（剛剛花了 20 分鐘），所以要找捷徑：不碰二階導數、不做裝飾。45:58
只需要比較這三類點的值：critical points、端點、不連續點。
Jerison 說很多微積分課會讓人以為「只要看 critical points」，但那句話還沒說完。47:39 回頭看 \(\frac{x}{\ln x}\)：最大最小可能出現的地方有五個（\(x = 0\)、\(1^-\) 的 \(-\infty\)、\(1^+\) 的 \(+\infty\)、\(x = e\)、\(x\to\infty\)），只有一個是 critical point。48:46
05鐵絲圍兩個正方形 Lec 12 1:02
長 1 的鐵絲剪成兩段，各圍成一個正方形。總面積最大是多少？文字題的兩個主要工作：畫圖、取變數。2:10 一段長 \(x\)、另一段 \(1 - x\)，邊長 \(\frac x4\)、\(\frac{1-x}4\)：
$$A(x) = \left(\frac x4\right)^2 + \left(\frac{1-x}{4}\right)^2,\qquad A'(x) = \frac x8 - \frac{1-x}{8}$$\(A' = 0\iff x = \frac12\)，critical value \(A = 2\cdot\left(\frac18\right)^2 = \frac1{32}\)。6:02
還沒完：要看端點。6:38 \(x\to0^+\)：\(A\to\frac1{16}\)；\(x\to1^-\)：也是 \(\frac1{16}\)。所以圖是兩端在 \(\frac1{16}\)、中間掉到 \(\frac1{32}\)。critical point 給的是最小面積，不是最大！Jerison：不看函數長什麼樣子，大概一半的時候會答錯，而且會得到最差的答案，和你要的正好相反。8:12
學生問：那最大面積是什麼？Jerison 說這有點像陷阱題：最大值 \(\frac1{16}\) 只在極限（整條鐵絲圍一個正方形，另一個縮成 0）才達到，嚴格來說違反題目的規則；但他會回答 \(\frac1{16}\)，因為那是答案最有意思的部分。14:22
「最小值」和「最小值在哪裡」 10:31
「最小值是多少？」答案是 \(\frac1{32}\)（minimum value）。「最小值發生在哪裡？」答案是 \(x = \frac12\)。回答「最小值是 \(\frac12\)」是錯的。另外，有人說「minimum point」指的是圖上的點 \((\frac12, \frac1{32})\)，用法不統一，只能自己注意。12:41
Demo 1 · critical point 只是候選人
06無蓋的盒子 19:08
固定體積 \(V\)，找表面積最小的無蓋盒子。Jerison 先給一個事實：最好的盒子底面是正方形（那是另一個最佳化問題：周長固定時面積最大的長方形是正方形）。20:13 底 \(x\times x\)、高 \(y\)：
$$V = x^2y\ (\text{固定}),\qquad A = x^2 + 4xy$$和鐵絲題不同，這裡有兩個變數，但有一個限制條件（constraint）\(V = x^2y\) 把它們綁在一起。解出 \(y = \frac{V}{x^2}\) 代進去：22:30
$$A(x) = x^2 + \frac{4V}{x},\qquad A'(x) = 2x - \frac{4V}{x^2} = 0\iff x^3 = 2V$$critical point \(x = 2^{1/3}V^{1/3}\)。還沒完：25:38 \(x\) 的範圍是多少？學生先猜上限是 \(\sqrt A\)，但 \(A\) 是在變的，固定的只有 \(V\)；\(x\) 可以從 0 到 \(\infty\)。27:17 Jerison：大多數問題裡，沒有限制的變數就會跑到無窮大，而無窮大通常是一個重要、又好處理的端點。兩端：\(x\to0^+\) 時 \(\frac{4V}{x}\to\infty\)；\(x\to\infty\) 時 \(x^2\to\infty\)。所以唯一的 critical point 是最小。28:58
另一個檢查方法是二階導數判別法：\(A'' = 2 + \frac{8V}{x^3} > 0\)，concave up，所以是最小。Jerison 說他「不推薦」：出題時會故意讓它很難用；這題夠簡單才 OK。30:04
更有意義的答案：無因次量 34:02
算出 \(y = 2^{-2/3}V^{1/3}\)、\(A = 3\cdot2^{1/3}V^{2/3}\) 都對，但更好的答案是不依賴尺寸的量：
$$\frac{A}{V^{2/3}} = 3\cdot2^{1/3}\approx3.78,\qquad\frac xy = \frac{2^{1/3}V^{1/3}}{2^{-2/3}V^{1/3}} = 2$$寬是高的兩倍：2:1 的盒子。不管多大的盒子都一樣，這是形狀（比例）的答案，Jerison 說這是「最乾淨的答案」。35:36 同理，平面圖形要比較周長和面積，應該用「周長平方 / 面積」才是無因次的。
用隱函數微分更快 39:59
不解出 \(y\)，把它當 \(x\) 的函數，對兩條式子微分：
$$0 = 2xy + x^2y'\ \Rightarrow\ y' = -\frac{2y}{x};\qquad\frac{dA}{dx} = 2x + 4y + 4xy' = 2x + 4y - 8y = 0\ \Rightarrow\ \frac xy = 2$$更快，而且直接得到比例。缺點：沒有檢查它是最大、最小還是都不是，還是得回頭看端點。43:26
2006 講義 Lecture 11 用的是無蓋圓柱罐（答案 \(h/r = 1\)），18.01SC 用有蓋的一公升罐（\(h = 2r\)，約 5.4 cm × 10.8 cm）。
07Related rates：測速 Lec 12 45:34
Related rates（相關變化率）是「好幾個量一起隨時間變，已知其中一個的變化率，求另一個的」。Jerison 說它其實就是練習設變數、列方程式的另一個藉口。
警察站在離公路 30 英尺處，雷達量到你的車距離 50 英尺、沿著雷達方向以 80 ft/s 接近。速限 65 mph 約 95 ft/s。你超速了嗎？46:36
- 什麼在變、什麼不變：30 不變（警察停著）；車到垂足的距離 \(x\) 在變，雷達距離 \(D\) 也在變，所以都要給字母。此刻 \(x = 40\)（3-4-5 直角三角形）。48:15
- 已知：\(\frac{dD}{dt} = -80\)（距離在縮短，所以是負的）。Lec 13 1:38
關係式是畢氏定理 \(x^2 + 30^2 = D^2\)。可以解出 \(x\) 再微分，但 Jerison 說那是浪費時間；直接對 \(t\) 隱函數微分：3:14
$$2x\frac{dx}{dt} = 2D\frac{dD}{dt}\quad\Longrightarrow\quad2\cdot40\cdot\frac{dx}{dt} = 2\cdot50\cdot(-80)\quad\Longrightarrow\quad\frac{dx}{dt} = -100\ \text{ft/s}$$100 ft/s 約 68 mph，超速了，雖然 Jerison 說超這一點大概不會被攔。5:19
先微分，再代數字。如果先把 \(x = 40\) 代進去，\(x\) 就變成常數，導數是 0，什麼都算不出來。3:45
08圓錐水槽 5:53
倒放的圓錐，頂部半徑 4 ft、深 10 ft，以 2 ft³/min 注水。水深 5 ft 時，水面上升多快？
- 畫剖面：只畫一半的三角形就夠。水面半徑 \(r\)、水深 \(h\)，兩個相似三角形給出 \(\frac rh = \frac4{10}\)，\(r = \frac25h\)。Jerison 說相似三角形是這類題目「到目前為止最典型」要從圖上讀出的幾何事實。9:50
- 公式：\(V = \frac13\pi r^2h\)，已知 \(\frac{dV}{dt} = 2\)。
- 別忘了問題本身：求 \(h = 5\) 時的 \(\frac{dh}{dt}\)。Jerison 問「少了什麼？」學生答：要求的東西。11:29
代 \(r = \frac25h\)：\(V = \frac{\pi}{3}\left(\frac25\right)^2h^3\)。對 \(t\) 微分（不要先解出 \(h\)，那只會得到一堆立方根）：13:04
$$2 = \frac{dV}{dt} = \frac\pi3\cdot\frac4{25}\cdot3h^2\frac{dh}{dt}\ \xrightarrow{h = 5}\ 2 = 4\pi\frac{dh}{dt}\quad\Longrightarrow\quad\frac{dh}{dt} = \frac{1}{2\pi}\approx0.159\ \text{ft/min}$$（Jerison 先寫成每秒，學生提醒後改成每分鐘。16:48）學生問：注水速度不就是 2 嗎？Jerison：2 是體積的變化率；水面上升的速度要看水面有多寬，越往上越寬、升得越慢。Related rates 永遠是 chain rule 的關係：\(\frac{dV}{dt} = \frac{dV}{dh}\cdot\frac{dh}{dt}\)。17:21
Demo 2 · 圓錐水槽的水位速度
09繩子上的環 18:54
Jerison 帶了一個餐巾環和一條登山用的傘繩：繩子兩端固定，環可以沿繩子滑動。兩手一樣高時，環停在中間；一手高一手低時，環停在哪裡？他找兩位學生在黑板上拉著繩子實際描出來。他說這是建懸索橋要解的問題中最簡單的一個。21:33
- 座標：一端是原點 \((0, 0)\)，另一端 \((a, b)\)，環在 \((x, y)\)（\(y < 0\)）。
- 物理：環停在位能最低、也就是 \(y\) 最小的地方。23:37
- 限制條件：繩長固定，26:48
最難的觀念是：要最小化的是 \(y\) 本身，而 \(y = y(x)\) 是限制條件隱含定義的函數。最低點就是切線水平的地方，\(y' = 0\)。兩端（繩子拉直的兩個極端位置）都比較高，所以最低點一定是 critical point。29:35 這條曲線其實是以兩端為焦點的橢圓，但 Jerison 說這個幾何事實「完全沒用」，寫出橢圓方程式只會更難。31:05
對限制條件隱函數微分，再令 \(y' = 0\)，含 \(y'\) 的項全部消失，剩下：34:16
$$\frac{x}{\sqrt{x^2+y^2}} = \frac{a - x}{\sqrt{(a-x)^2 + (b-y)^2}}\quad\Longleftrightarrow\quad\sin\alpha = \sin\beta$$\(\alpha\)、\(\beta\) 是兩段繩子和鉛垂線的夾角。所以 \(\alpha = \beta\)：不管兩手高低差多少，兩段繩子和鉛垂線的夾角都一樣。35:56 力學上這代表兩段繩子張力相等，負重平均分攤，這也是懸索橋的原理。36:58 換個角度看，這就是橢圓的反射性質：從一個焦點出發的光，打到橢圓鏡面後一定經過另一個焦點。他提到 DeCordova 美術館一個迷你高爾夫作品「一桿進洞」：球座在一個焦點、洞在另一個焦點，怎麼打都進。39:32
背景補充：環的確切位置（2006 講義）
Jerison 說公式很亂，課堂上沒推，留在講義。由 \(\alpha = \beta\)：兩段繩的水平分量加起來是 \(a = L\sin\alpha\)，鉛直分量加起來是 \(b - 2y = L\cos\alpha\)，所以
$$\sin\alpha = \frac aL,\qquad y = \frac12\left(b - \sqrt{L^2 - a^2}\right),\qquad x = \frac a2\left(1 - \frac{b}{\sqrt{L^2 - a^2}}\right)$$例如 \(a = 4, b = 1, L = 6\)：\(x\approx1.553\)、\(y\approx-1.736\)，兩個角的 \(\sin\) 都是 \(\frac46 = 0.667\)。\(b = 0\) 時 \(x = \frac a2\)，回到正中間。
Demo 3 · 環停在哪裡
10Newton 法 40:40
Jerison 說這是微積分最偉大的應用之一，計算機算很多東西的核心就是它。例子：解 \(x^2 = 5\)，也就是求 \(\sqrt5\)。41:10
標準形式：令 \(f(x) = x^2 - 5\)，解 \(f(x) = 0\)。一次函數太無聊，二次已經有意思，三次以上連公式都沒有，數值方法就是唯一的路。42:13
想法：從一個猜測 \(x_0\) 出發（\(\sqrt5\) 接近 \(\sqrt4 = 2\)，取 \(x_0 = 2\)），假裝函數是線性的：用切線代替曲線，找切線和 \(x\) 軸的交點當新的猜測。43:17 這就是第 04 頁的線性近似。切線 \(y - y_0 = m(x - x_0)\)，令 \(y = 0\)：45:29
$$x_1 = x_0 - \frac{y_0}{m} = x_0 - \frac{f(x_0)}{f'(x_0)}$$\(f'(x) = 2x\)，\(x_{n+1} = x_n - \frac{x_n^2 - 5}{2x_n} = \frac12x_n + \frac{5}{2x_n}\)。49:11
| n | xₙ | |√5 − xₙ| |
|---|---|---|
| 0 | 2 | 2.4 × 10⁻¹ |
| 1 | 9/4 = 2.25 | 1.4 × 10⁻² |
| 2 | 161/72 = 2.2361111 | 4.3 × 10⁻⁵ |
| 3 | 2.2360679779 | 4.2 × 10⁻¹⁰ |
Jerison 的數字一樣：\(n = 2\) 已經是「你這輩子需要的」精度，\(n = 3\) 準到計算機的極限。51:50 注意誤差的指數：−1、−2、−5、−10，每一步正確位數大約加倍（2006 講義用 \(\sqrt3\) 做同樣的表，也這樣總結）。原因：線性近似的誤差和距離的平方同階（第 04 頁第 8 節），所以新誤差 ≈ 常數 × 舊誤差²。
什麼時候會出問題（2006 講義、18.01SC）
- 找到意料外的根：\(x^2 - 3\) 從 \(x_0 = -1\) 出發，收斂到 \(-\sqrt3\)，不是 \(+\sqrt3\)。
- 完全失敗：可能來回循環，例如 \(f(x) = x^3 - 2x + 2\) 從 \(x_0 = 0\)：\(x_1 = 1\)、\(x_2 = 0\)、\(x_3 = 1\)……永遠不收斂。（講義只畫示意圖；這個具體的函數是我們補的例子。）
- 變慢：18.01SC 的例題 \(f(x) = x^3\)：\(x_{n+1} = x_n - \frac{x_n^3}{3x_n^2} = \frac23x_n\)，每步只乘 \(\frac23\)，永遠到不了 0，收斂也只是線性的。原因是 0 這個根同時是 \(f'\) 的根（切線在那裡是水平的）。
- 起點附近 \(f'\) 接近 0 時，切線幾乎水平，下一步會被甩到很遠。
Demo 4 · Newton 法的切線鋸齒
11在 deep generative models 哪裡用到
| 這一頁 | 在 DGM 的樣子 |
|---|---|
| 最佳化 = 找 \(f' = 0\) | maximum likelihood：一維 Gaussian 的 log-likelihood 對 \(\mu\) 微分設為 0，得到 \(\mu\) = 樣本平均；對 \(\sigma\) 微分設為 0，得到樣本變異數。神經網路沒有封閉解，就改用 gradient descent 一步步走向 \(\nabla L = 0\) |
| 不要忘了端點和不連續點 | Gaussian mixture 的 likelihood 在某個分量的 \(\sigma\to0\)、而且中心剛好落在一個資料點上時會趨近 \(+\infty\)：「最大值」出現在參數空間的邊界，而且是一個退化、沒用的解。這和鐵絲題「critical point 是最差解、最好的在端點」是同一個教訓；實務上要加限制或正則化 |
| Newton 法 | 對 \(f'\) 用 Newton 法，就是最佳化用的 Newton 法：\(\theta_{n+1} = \theta_n - \frac{f'(\theta_n)}{f''(\theta_n)}\)，等於每一步用二次近似（第 04 頁）跳到拋物線的谷底。收斂極快，但需要二階導數（Hessian），大模型負擔不起，所以用 gradient descent／Adam |
| Related rates = chain rule 對時間 | 訓練過程中參數隨步數變，loss 的變化率是 \(\frac{dL}{dt} = L'(\theta)\frac{d\theta}{dt}\)；gradient flow \(\frac{d\theta}{dt} = -L'(\theta)\) 代進去得 \(\frac{dL}{dt} = -(L')^2\le0\)，loss 一定下降。diffusion 裡雜訊強度、訊雜比也都是時間的函數，用 chain rule 換變數 |
| 限制條件下的最佳化 | 盒子題的「用限制條件消去變數」到了多變數會變成 Lagrange multipliers（18.02，2006 講義最後也提到）。例如「固定變異數下 entropy 最大的分佈是 Gaussian」就是這樣證的 |
常見誤解
自我測驗
1. 畫 \(y = \frac{x}{x^2 + 1}\) 的圖：兩端、critical points、最大最小。
2. （18.01SC 例題）體積 1 公升的有蓋圓柱罐，表面積最小時半徑和高是多少？
3. （18.01SC 例題）穀倉 = 圓柱 + 半球屋頂，有地板。體積固定，表面積最小的形狀？用隱函數微分。
4. 梯子長 10 ft 靠牆，底部以 1 ft/s 往外滑。底部離牆 6 ft 時，頂端下滑多快？
5. 用 Newton 法從 \(x_0 = 1\) 求 \(\sqrt[3]{2}\)，算兩步。
6. （18.01SC 例題）為什麼 Newton 法對 \(x^3 = 0\) 永遠到不了 0？
7. 盒子問題裡，為什麼 Jerison 說 \(\frac xy = 2\) 比 \(x = 2^{1/3}V^{1/3}\) 更好？
延伸閱讀
- 18.01 Fall 2006 講義 Lecture 11（\(\frac{\ln x}{x}\)、無蓋罐、鐵絲）、Lecture 12（測速、圓錐、衛星與拋物鏡的誤差問題）、Lecture 13（Newton 法、兩種失敗、繩子上的環與 \(x, y\) 的公式）：離線包
lec11.pdf–lec13.pdf。 - 18.01SC session 30、31、33 的 worked examples（離線包
MIT18_01SCF10_ex30prb.pdf、ex31prb.pdf、ex33prb.pdf）：自我測驗 2、3、6 題。
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